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Sechs Kisten im Ungleichgewicht

Mathematik Nr. 52

Gesucht sind die Gewichte von sechs Kisten mit folgenden Eigenschaften:

• Jede Kiste hat ein ganzzahliges, positives Gewicht.

• Wenn man einige Kisten auf die linke Seite einer Balkenwaage und einige Kisten auf die rechte Seite stellt (und einige Kisten möglicherweise gar nicht verwendet), dann ist die Waage nie im Gleichgewicht.

Wie groß muss das Gewicht der schwersten Kiste mindestens sein?

Anmerkung: 1, 2, 4, 8, 16, 32 sind zum Beispiel mögliche Gewichte. Es gibt aber eine Lösung, in der die schwerste Kiste viel weniger als 32 kg wiegt.

Lösung anzeigen

Die erste Kiste habe 1 kg, die zweite 2 kg an. Dann darf die 3. nicht 3 kg haben; sie muss mindestens 4 kg wiegen. Die 5. Kiste darf nicht 5, 6 oder 7 kg wiegen, muss also mindestens 8 kg haben. Die nächste Kiste hat dann 16 kg, die letzte hat 32 kg.

Nehmen wir an, die ersten beiden Kisten haben 2 kg und 3 kg.; dann darf die 3. Kiste 4 kg wiegen. 5, 6 und 7 kg sind nicht erlaub, bleiben 8 kg für die 4. Kiste. 9, 10, 11,1 2, 13, 14 und 15 kg sind nicht erlaubt, bleibt 16 kg für die 5. Kiste. Und 32 kg für die 6.

Starten wir mit 1 kg und 3 kg, dann darf die 3. Kiste 5 kg und die 4. Kiste 7 kg wiegen. Die 5. Kiste wiegt dann 14 kg und die 6. Kiste 31 kg. Immerhin ein Fortschritt.

Es geht also, aber ich fürchte, das Optimum zu finden läuft nur wieder auf Ausprobieren hinaus.

Ein Programm, das alle Möglichkeiten durchprobiert, liefert folgendes Ergebnis:

Kleinste Lösung: 11, 17, 20, 22, 23, 24

Gesamtzahl der Lösungen für Kisten bis 32kg: 4135

Durchprobierte Kombinationen: 906.192