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Die olympischen Ringe

Mathematik Nr. 50

Die olympischen Ringe schneiden sich derart, das 15 Felder entstehen:

   [Grafik zur Veranschaulichung]

Man trage in die 15 Felder die Zahlen von 1 bis 15 derart ein, dass die Summe in jedem Ring gleich groß ist. Alle Zahlen müssen genau ein mal verwendet werden.

Hinweis: Es gibt viele Lösungen, aber es ist schwierig genug, eine zu finden!

Lösung anzeigen

Wie findet man innerhalb weniger Minuten eine Lösung?

Nach ein paar Minuten herumprobieren erhält man ein Ergebnis:

[Grafik zur Veranschaulichung]

Nachtrag im Juni 2012:

Für die möglichen Summen 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 existieren bereits Lösungen, also beschränke ich mich auf die theoretisch möglichen Summen 36, 37, 45.

Summe=36: Es gibt keine Lösung.

Der Ring in der Mitte muss mit acht Zahlen gefüllt werden. Das müssen die Zahlen 1 bis 8 sein, da keine andere Kombination möglich ist. Die übrigen sieben Segmente werden also mit den Zahlen 9 bis 15 gefüllt.

Die unteren beiden Ringe bestehen zusammen aus zehn Segmenten, fünf davon im Bereich 1 bis 8, da sie auch zum Ring in der Mitte gehören; die anderen fünf im Bereich 9 bis 15. Addiert man diese zehn Segmente und zählt die mittleren beiden doppelt, so müsste man die Summe der beiden unteren Ringe erhalten, also 72.

Das geht aber nicht, weil die oberen fünf Segmente mindestens 15 ergeben. Mit dem doppelt gezählten Segment sogar mindestens 16. Die unteren fünf Segmente ergeben zusammen mindestens 55 bzw. 64 mit der Verdopplung. Also ergibt die Summe aller zehn Segmente mindestens 71, mit der notwendigen Verdopplung der mittleren Segmente mindestens 80.

Summe=37: Es gibt keine Lösung.

Die Argumentation ist fast identisch. Wir können im mittleren Ring nur die 8 gegen die 9 tauschen. An der Mindestsumme der oberen fünf Segmente ändert sich dadurch nichts, die Mindestsumme der unteren Segmente beträgt nun 54 bzw. 62. Die Summe aller Segmente der unteren beiden Ringe (die mittleren doppelt gezählt) ist also mindestens 76 und damit größer als die angestrebten 74.

Summe=45: Es gibt keine Lösung.

Die acht verschiedenen Segmente der beiden äußeren Ringe ergeben zusammen 90. Das geht nur mit den Zahlen 15, 14, 13, 12, 11, 10 und 9, 6 oder 8, 7, die ich den oberen Zahlenbereich nenne.

Die sieben anderen Segmente werden vom unteren Zahlenbereich gefüllt, also 1, 2, 3, 4, 5, und 6, 9 oder 7, 8.

Die acht Segmente des mittleren Rings summieren sich zu 45, die restlichen Segmente müssten sich also zu 75 aufsummieren.

Von diesen restlichen sieben Segmenten gehören die vier aus den äußeren Ringen zum oberen Zahlenbereich und die drei aus den unteren Ringen zum unteren. Die größtmögliche Summe der vier Zahlen beträgt 54, die der drei 20. Da fehlt 1.