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Mobile im Gleichgewicht

Mathematik Nr. 45

Das folgende Mobile ist im Gleichgewicht:

                     |
          xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
           |                   |
        xxxxxxx             xxxxxxx
        |     |             |     |
     xxxxxxx  B             |     A
     |     |  E             |     C
     #     |  E          xxxxxxx  C
           |             |     |  C
        xxxxxxx          |     A  C
        |     |       xxxxxxx  A  C
        |     B       |     |  A
        |     F       A     |  D
        |             D     |  F
     xxxxxxx          D     C  F
     |     |          D
     D     |
     D     F

Die Aufhängungen (|) sind gewichtlos, aber nicht die Balken (xxxx). Die Buchstaben repräsentieren verschiedene Gewichte. Welche Gewichte sind optimalerweise an der Stelle (#) angebracht? (D.h. an der Stelle # sollen möglichst wenige Gewichte hängen)

Lösung anzeigen

Aus den Gelichgewichtbedingungen des Mobiles erhält man unmittelbar folgende Gleichungen:

  F = 2D
  F+B = 7x+F+2D
  # = B+6*D+14x
  2#+7x = 2E+B
  2E+B = 5C+A
  5C+A = 4C+21x
  C = 3D+A
  3A+D+2F = 7x+2C

8 Gleichungen, 8 Unbekannte - oder doch nicht, eine der Gleichungen ist linear abhängig von einer anderen, also redudant, es bleiben 7 Gleichungen und 8 Unbekannte. Das Lösen des Gleichungssystems ergibt:

  A = 6D
  B = 7D
  C = 9D
  E = 22D
  F = 2D
  # = 23D

# muss also eine Kombination von A, B, C, D, E und F sein, die 23D ergibt. Es gibt viele Lösungen, aber nur eine "optimale":

  # = D+E