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Die besondere Zahl

Mathematik Nr. 44

Es gibt genau eine Zehnstellige Zahl, die folgenden Anforderungen genügt:

Welche Zahl ist das?

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Wir bezeichnen die Ziffern mit z1, z2, ..., z10 und wenden die Teilbarkeitsregeln an:

Die z2, z4, z6, z8 und z10 müssen gerade sein und daher die z1, z3, z5, z7 und z9 ungerade.

z1...z10 muss durch 10 teilbar sein, also gilt z10=0.

z1...z5 muss durch 5 teilbar sein, also gilt z5=0 oder z5=5. Da 0 schon für z10 vergeben ist, bleibt nur noch z5=5.

Die Quersumme z1+z2+z3 muss durch 3 teilbar sein, ebenso z1+...+z6 (und daher auch z4+z5+z6) und z1+...+z9 (und daher auch z7+z8+z9).

z1...z4 muss durch 4 teilbar sein, daher muss z3...z4 durch 4 teilbar sein.

z1...z8 muss durch 8 teilbar sein, daher muss z6z7z8 durch 8 teilbar sein.

z1...z7 muss durch 7 teilbar sein. Regel: Trenne die letzte Ziffer ab und ziehe deren Doppeltes vom Rest ab. Was verbleibt, ist dann immer noch durch 7 teilbar. Usw. Beispiel: 12345 => 1234-10=1224 => 122-8=114 => 11-8=3 => 12345 ist nicht durch 7 teilbar. Das hilft uns hier aber wenig weiter.

Die Quersumme z4+z5+z6 muss durch 3 teilbar sein, ist also 3, 6, 9, 12, ... 27. Da z5=5, ist z4+z6 = 4, 7, 10, 13 oder 16. Da z4 und z6 beide gerade sind, kommen nur 2, 4, 6 und 8 in Frage. Da z4 und z6 verschieden sind, bleibt nur z4+z6=10. Da z3...z4 durch 4 teilbar ist und z3 ungerade ist, gilt z4=2 oder z4=6. Bleiben also nur noch 2 Möglichkeiten:

  z4 = 2, z6 = 8
  z4 = 6, z6 = 4

Für die ersten drei Ziffern bleiben mehr Möglichkeiten übrig, da noch keine Ziffer vorgegeben ist. z1 und z3 sind ungerade, z2 ist gerade; die Summe z1+z2+z3 ist also gerade: z1+z2+z3 = 6, 12, 18 oder 24.

Jetzt bleibt nur noch Probieren. Zunächst einmal alle Möglichkeiten mit z0=2:

  123 654       => keine passende 7. Ziffer
  321 654 98    => nicht durch 8 teilbar
  129 654 78    => nicht durch 8 teilbar
  921 654 38    => nicht durch 8 teilbar
  729 654 18    => nicht durch 8 teilbar
  927 654       => keine passende 7. Ziffer.

Also ist z2<>2. Was ist mit  z2=8?

  183 654       => nein
  381 654 729 0 => TREFFER
  189 654       => nein
  981 654       => nein
  789 654       => nein
  987 654       => nein

Was ist mit z2=4?

  147 258 36    => nein
  741 258       => nein

Keine Lösung für z2=4. Was ist mit z2=6?

  369 258       => nein
  963 258 14    => nein

Für z2 kommt also nur 8 in Frage, und die einzige Lösung, die es für die Aufgabenstellung gibt, ist 381 654 729 0. Jeweils die ersten n Ziffern sind durch n teilbar.