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Die Türe zum Harem des Sultans

Mathematik Nr. 41

Der Sultan hat eine neue Haremstüre bestellt. Da er aber den fünf Haremswächtern und deren Chef nicht ganz traut, stellt er folgende Anforderung: Die Türe darf nur vom Chef und einem beliebigen der Haremswächter -oder- von drei beliebigen beliebigen Haremswächtern geöffnet werden.

Der Chef und die Haremswächter können so viele Schlüssel zu so vielen Schlössern wie notwendig erhalten. Keiner der Haremswächter gibt jemals seine Schlüssel aus der Hand.

Was ist die kleinste Anzahl von Schlössern in der Türe?

Lösung anzeigen

Ich betrachte zuerst nur die fünf normalen Wächter.

Jeden Schlüssel muss es mindesten drei mal geben, weil es sonst eine Kombination von drei Wächtern gibt, die einen Schlüssel nicht haben.

Es gibt zehn Möglichkeiten, drei von fünf Wächtern je einen Schlüssel zu geben. Dadurch gibt es immer einen Schlüssel, der einem beliebigen Paar von Wächtern fehlt. Somit brauchen wir zehn Wächter-Schlösser, und jeder Wächter erhält sechs Schlüssel.

Für den Chef brauchen wir ein weiteres Schloss, für das er als einziger nicht den Schlüssel hat, dafür hat er aber alle Wächter-Schlüssel. Das ganze sieht dann so aus (wobei die Buchstaben A bis K die Schlüssel kennzeichnen):

CH  A B C D E F G H I J 
W1  A B C D E F         K
W2  A B C       G H I   K
W3  A     D E   G H   J K
W4    B   D   F G   I J K
W5      C   E F   H I J K

Insgesamt braucht man also elf Schlösser und 45 Schlüssel (jeder Wächter hat sieben, der Chef hat zehn).