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Wie zuverlässig ist der Zeuge?

Mathematik Nr. 29

Gerichtsverhandlung vor einem amerikanischen Bezirksgericht. Der Zeuge behauptet, er habe nach einem nächtlichen Unfall ein blaues Taxi davonfahren sehen.

Um die Zuverlässigkeit des Zeugen zu prüfen, lässt ihn die Richterin testen. Ergebnis: Der Zeuge erkennt bei Dunkelheit in 80% der Fälle die Farbe korrekt. Eine Erhebung ergab außerdem, dass in der Stadt 85% der Taxis grün und 15% der Taxis blau sind.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit das das Taxi tatsächlich blau?

Lösung anzeigen

Von 100 Taxis sind 15 blau; der Zeuge identifiziert davon 80% tatsächlich als blau, das sind 12 (und 3 als grün). 85 Taxis sind grün, der Zeuge identifiziert davon 80% tatsächlich als grün, das sind 68 (und 17 als blau). Insgesamt identifiziert der Zeuge 29 Taxis als blau.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein vom Zeugen als blau identifiziertes Taxi auch tatsächlich blau ist, ist 12/29 = 41,38%.

Alternativlösung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein vom Zeugen als blau identifiziertes Taxi auch tatsächlich blau ist, ist nach Bayes: (0.8*0.15) / (0.8*0.15+0.2*0.85) = 41,38%.

Immer noch Zweifel?

Um Zweifler zu überzeugen, helfen oft krasse Übertreibungen, zum Beispiel:

(1) Die Hirnriss-Krankheit kommt nur bei einem von 5 Milliarden Menschen vor.

(2) Es wurde ein Test entwickelt, der zu 50% das Ergebnis richtig anzeigt. Der Test besteht darin, eine Münze zu werfen.

(3) Du gehst zu dem Test, und die Münze fällt auf "Positiv".

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du hirnrissig bist? Mögliche Antworten bitte ankreuzen:

[ ] 50% (Zweiflerantwort)
[ ] viel weniger als 50%

(Das ist im übrigen generell eine gute Plausibilisierungsmethode: Man verwende Extremwerte und denkt darüber nach, ob die Antwort immer noch plausibel ist.)