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Wie viele Soldaten?

Mathematik Nr. 21

»Antreten in Zweierreihen!« – Kurzes Chaos, geschafft, aber ein Soldat bleibt übrig.

»Antreten in Dreier-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.

»Antreten in Vierer-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.

»Antreten in Fünfer-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.

»Antreten in Sechser-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.

»Antreten in Siebener-Reihen!« – endlich, Ende der Schikane, alle Soldaten stehen in Reih und Glied.

Wie viele Soldaten sind es mindestens?

Lösung anzeigen

Es sind 301 Soldaten.

Von Winfried Bayer:

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3, 4, 5 und 6 ist 60. Die gesuchte Zahl muss, um eins reduziert, ein Vielfaches von 60 und gleichzeitig ohne Rest durch 7 teilbar sein:

  1*60 + 1 =  61      61 / 7 =  8 Rest 5
  2*60 + 1 = 121     121 / 7 = 17 Rest 2
  ...
  5*60 + 1 = 301     301 / 7 = 43 Rest 0

Weitere Lösungen findet man, indem man jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3, ... bis 7 = 420 addiert, also

  301 + 420 =  721
  721 + 420 = 1141
  usw.

Von Gerald Tarnai:

x ≡ 1(mod 2); x ≡ 1(mod 3); x ≡1(mod 4); x ≡ 1 (mod 5); x ≡ 1 (mod 6); x ≡ 1 (mod 7)

Die beiden ersten Kongruenzen sind für alle x erfüllt, welche die 5. Kongruenz befriedigen. Wir können sie also weglassen. Wir können sie also weglassen.

    x  1(mod 4) -> x = 4g+1
    x  1(mod 5)
   4g  0(mod 5)
  16g  0(mod 5)
    g  0(mod 5) -> g = 5h -> x = 20h+1
    x  1(mod 6)
20h+1  1(mod 6)
  10h  0(mod 6)
   2h  0(mod 6)
    h  0(mod 3) -> h = 3m -> x = 60m+1
60m+1  0(mod 7)
  60m  6(mod 7)
  10m  1(mod 7)
   3m  1(mod 7)
    m  5(mod 7) -> m = 7n +5 -> x = 60(7n+5)+1 = 420n+301

Kleinstes natürliches x für n = 0; also: Es sind mindestens 301 Soldaten.