Mathematik Nr. 21
»Antreten in Zweierreihen!« – Kurzes Chaos, geschafft, aber ein Soldat bleibt übrig.
»Antreten in Dreier-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.
»Antreten in Vierer-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.
»Antreten in Fünfer-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.
»Antreten in Sechser-Reihen!« – ein Soldat bleibt wieder übrig.
»Antreten in Siebener-Reihen!« – endlich, Ende der Schikane, alle Soldaten stehen in Reih und Glied.
Wie viele Soldaten sind es mindestens?
Es sind 301 Soldaten.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3, 4, 5 und 6 ist 60. Die gesuchte Zahl muss, um eins reduziert, ein Vielfaches von 60 und gleichzeitig ohne Rest durch 7 teilbar sein:
1*60 + 1 = 61 61 / 7 = 8 Rest 5 2*60 + 1 = 121 121 / 7 = 17 Rest 2 ... 5*60 + 1 = 301 301 / 7 = 43 Rest 0
Weitere Lösungen findet man, indem man jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3, ... bis 7 = 420 addiert, also
301 + 420 = 721 721 + 420 = 1141 usw.
x ≡ 1(mod 2); x ≡ 1(mod 3); x ≡1(mod 4); x ≡ 1 (mod 5); x ≡ 1 (mod 6); x ≡ 1 (mod 7)
Die beiden ersten Kongruenzen sind für alle x erfüllt, welche die 5. Kongruenz befriedigen. Wir können sie also weglassen. Wir können sie also weglassen.
x ≡ 1(mod 4) -> x = 4g+1
x ≡ 1(mod 5)
4g ≡ 0(mod 5)
16g ≡ 0(mod 5)
g ≡ 0(mod 5) -> g = 5h -> x = 20h+1
x ≡ 1(mod 6)
20h+1 ≡ 1(mod 6)
10h ≡ 0(mod 6)
2h ≡ 0(mod 6)
h ≡ 0(mod 3) -> h = 3m -> x = 60m+1
60m+1 ≡ 0(mod 7)
60m ≡ 6(mod 7)
10m ≡ 1(mod 7)
3m ≡ 1(mod 7)
m ≡ 5(mod 7) -> m = 7n +5 -> x = 60(7n+5)+1 = 420n+301
Kleinstes natürliches x für n = 0; also: Es sind mindestens 301 Soldaten.