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Schafherden-Erbschaft

Mathematik Nr. 9

Zwei Brüder erben eine Schafherde. Da sie ihre Berufe haben, entscheiden sie sich, sie zu verkaufen und den Gewinn zu teilen.

Die Brüder erhalten für jedes Schaf so viele Taler wie die Herde Tiere hat, ausgezahlt in 10-Taler-Scheinen und 1-Taler-Münzen (Anzahl der Münzen < 10). Beim Aufteilen des Betrages nimmt jeder abwechselnd einen Schein, jedoch erhält der ältere Bruder den ersten und den letzten. Deshalb bekommt der jüngere sämtliche Münzen. Da der Gewinn jedoch immer noch nicht gerecht geteilt ist, stellt der ältere dem jüngeren Bruder einen Scheck aus.

Welche Zahl steht auf dem Scheck?

Lösung anzeigen

Wenn es n Schafe gibt und jedes Schaf n Taler kostet, ist der Gesamtbetrag n2 Taler.

Jede Zahl n kann man in der Form a*10+b schreiben; beispielsweise die Zahl 4356 als 435*10+6.

n2 ist also (a*10+b)*(a*10+b) = 100*a2+20*ab+b2.

Die ersten beiden Terme (100*a2+20*ab) ergeben immer eine Zahl mit einer geraden Zehnerstelle. Dieser Anteil lässt sich immer zwischen den beiden Erben glatt aufteilen. Nur der Anteil der Einerstelle b*b kann also dazu führen, dass die beiden Brüder nicht gleich viele 10-Taler-Scheine erhalten.

b2 sind die ersten 10 Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, und 81. Davon haben nur 16 und 36 eine ungerade Zehnerstelle; bei allen anderen Zahlen hätte beide Brüder gleich viele 10-Taler-Scheine bekommen.

Egal, ob nun 16 oder 36 - die Einerstelle ist immer 6; der jüngere Erbe hat also 6 Taler in Münzen erhalten; der ältere muss dem jüngeren daher noch 2 Taler »zurückzahlen«.

Auf dem Scheck steht also die Zahl 2.