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Scheinbeweise

Mathematik Nr. 4

Wo steckt bei den folgenden »Beweisen« der Fehler?

Beweis 1:

       -20 = -20
     16-36 = 25-45
16-36+81/4 = 25-45+81/4
 (4-9/2)^2 = (5-9/2)^2    
     4-9/2 = 5-9/2
         4 = 5

Beweis 2:

       a = b+c
   3a-2a = 3b-2b+3c-2c
3a+2b+2c = 2a+3b+3c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3*(a-b-c)= 2*(a-b-c)
       3 = 2

Lösung anzeigen

Beweis 1:

       -20 = -20
     16-36 = 25-45
16-36+81/4 = 25-45+81/4
  (4-9/2)2 = (5-9/2)2

Dieser Schritt ist in Ordnung; es gilt: a2-2ab+b2=(a-b)2 (links mit a=4, b=9/2 und rechts mit a=5, b=9/2)

     4-9/2 = 5-9/2

Funktioniert nicht, da Wurzelziehen keine eindeutige Funktion ist (jede Zahl hat zwei Quadratwurzeln, beispielsweise 2*2=4 und (-2)*(-2)=4, also sind 2 und -2 die Wurzeln aus 4). Auf der linken Seite wurde die negative Wurzel gewählt, auf der rechten die positive. Richtig wäre beispielsweise

     9/2-4 = 5-9/2
       1/2 = 1/2

Beweis 2:

       a = b+c
   3a-2a = 3b-2b+3c-2c
3a+2b+2c = 2a+3b+3c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3*(a-b-c)= 2*(a-b-c)

Bis hierher ist noch alles in Ordnung, Jetzt darf man aber nicht durch (a-b-c) dividieren, da (a-b-c) laut erster Zeile gleich Null ist!