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Wechselgeld

Mathematik Nr. 3

Als ich letzte Woche ein Buch mit einem Hundertmarkschein bezahlt hatte, stellte ich zu Hause fest, dass mir die Kassiererin doppelt soviel und noch fünf Pfennige mehr an Wechselgeld gegeben hatte, als mir zustand. Offensichtlich hatte sie den Markbetrag mit dem Pfennigbetrag des Wechselgeldes vertauscht.

Wie teuer war das Buch?

Lösung anzeigen

Das Buch kostete 68,37 Mark.

   2*(100x+y) + 5 = 100y + x
         199x + 5 = 98y
                    98y - 5
                x = -------
                      199

Diese Gleichung ist zwischen 1 und 100 nur für x=31 und y=63 ganzzahlig lösbar.

Um zur Lösung zu gelangen, muss man ein bisschen herumprobieren oder ein kleines Programm (oder eine Excel-Tabelle) rechnen lassen.

Von Arne Heizmann:

Den Mark-Betrag nenne ich m, den Pfennig-Betrag p. Das Wechselgeld ist also 100m + p. Das vertauschte Wechselgeld ist demnach m + 100p. Es ergibt sich die Gleichung:

   m + 100p = 2 (p + 100m) + 5
            = 2p +  5 + 100 (2m)    [a]
            = 2p - 95 + 100 (2m+1)  [b]

Falls 2p+5<100 (also p<48) ist, brauchen wir Gleichung [a]. Wenn wir daraus den Mark- und Pfennig-Betrag herausnehmen, ergeben sich zwei Gleichungen:

   m = 2p + 5
   p = 2m
   =>  m = 4m + 5
   =>  m = -5/3

Das widerspricht natürlich der Annahme, m sei eine ganze Zahl. Also ist p>47, und wir brauchen Gleichung [b], die uns sagt:

   m = 2p - 95
   p = 2m + 1
   =>  m = 2(2m+1)-95
   =>  m = 31
   =>  p = 63