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Erbsenzähler

Logik Nr. 16

Auf einem Fest soll erraten werden wie viele Erbsen in einem Glas sind! Zwölf Teilnehmer versuchen sich daran:

Niemand der 12 Teilnehmer hatte mit beiden Behauptungen Recht. Zwei von ihnen lagen sogar mit beiden Aussagen falsch. Diese hatten übrigens ihre Aussage unmittelbar hintereinander getroffen. Die Anzahl der Erbsen wurde außerdem mehrfach überschätzt.

Wie viele Erbsen sind in dem Glas? Welche beiden hatten zweimal daneben gelegen? Und welcher Teilnehmer lag am dichtesten dran?

Lösung anzeigen

Das Pferd wird von hinten aufgezäumt:

Die Zahl der Erbsen wurde außerdem mehrfach überschätzt.

Mehrfach ist mindestens zweimal, also fallen 58.620 und 53.235 raus, es müssen also weniger als 53.235 Erbsen sein.

Und welcher Teilnehmer lag am dichtesten dran?

Kein Teilnehmer hatte also die richtige Zahl genannt.

Niemand der 12 Teilnehmer hatte mit beiden Behauptungen Recht

Wenn keiner die richtige Zahl genannt hat (1. Behauptung ist falsch), muss also jeweils die 2. Behauptung (Divisor) richtig gewesen sein.

Zwei von Ihnen lagen sogar mit beiden Aussagen falsch. Diese hatten ihre Aussage übrigens unmittelbar hintereinander getroffen

Es sind also alle Divisoren (Zweitbehauptung) richtig, bis auf 2 aufeinander folgende.

– – –

Wir suchen also eine Zahl zwischen 1 und 53.234, die teilbar durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 und 13 ist, wobei aber zwei aufeinander folgende Zahlen nicht berücksichtigt werden. Anders gesagt: Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache aus 2 bis 13, wobei aber zwei aufeinander folgende Zahlen nicht berücksichtigt werden.

Zerlegen wir die Divisoren erst einmal in Primzahlfaktoren:

   2 = 21,    3 = 31,      4 = 22, 
   5 = 51,    6 = 21×31,   7 = 71, 
   8 = 23,    9 = 32,     10 = 21×51, 
  11 = 111,  12 = 22×31,  13 = 131

Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist das Produkt der Primfaktoren mit der höchsten Potenz.

2 und 3 können nicht die falschen Aussagen sein, da dann 4 und 6 drin bleiben würden, was impliziert, dass die Zahl auch durch 2 und 3 teilbar sein muss. Gleichermaßen argumentiert man mit 3 und 4, 4 und 5 sowie 5 und 6.

Ohne 8 geht nicht, da dann auch 2 und 4 falsch sein müssten. Ohne 10 geht nicht, da dann auch 2 und 5 falsch sein müssten. Ohne 12 geht nicht, da dann auch 2 und 3 und 4 falsch sein müssten.

Bleibt:

  Ohne 6 und 7: 23 × 32 × 5 × 11 × 13 = 51.480

Fazit:

Es sind 25.740 Erbsen im Glas. Zwei mal daneben lagen Teilnehmer 6 und 7. Am dichtesten dran war Teilnehmer 12 (um eine Erbse besser als Teilnehmer 2).