Logik Nr. 11 - Perfekte Logiker

Die Spieler A und B haben beide die Zahl 12 auf ihre Stirn geschrieben bekommen. Jeder sieht die Zahl auf der Stirn des anderen, aber er kennt nicht die eigene Zahl. Der Spielleiter teilt ihnen mit, dass die Summe ihrer beiden Zahlen entweder 24 oder 27 ist und dass es sich um positive ganze Zahlen handelt (ungleich Null).

Dann fragt der Spielleiter immer wieder A und B abwechselnd, ob sie die Zahl auf ihrer Stirn bestimmen können.

   A: Nein.
   B: Nein.
   A: Nein.
   B: Nein.
   A: Nein.
   ...

Nach wie vielen "Nein"s terminiert das Spiel, wenn überhaupt?

∨ Lösung

Bei perfekten Logikern hört man 7 "Nein"s, dann ein "Ja".

Sei a die Zahl von A und b die Zahl von B.

  (1) A weiß zu Beginn, da a=12 oder a=15.
  (2) B weiß zu Beginn, da b=12 oder b=15.

Aber B weiß nicht, dass A (1) weiß, und A weiß nicht, das B (2) weiß. Somit sind diese Aussagen zum rekursiven Schließen nicht geeignet.

Aber alle folgenden Aussagen sind beiden Personen klar, und jeder weiß, dass der andere sie weiß:

  (3) b=24-a oder b=27-a.
  (4) a=24-b oder a=27-b.

Aus dem ersten "Nein" von A folgt nun aus (4)

  (5) b < 24

denn im Falle b>=24 würde A auf a schließen können.

Dies ist der Motor, der das rekursive Schließen ins Laufen bringt:

Aus dem ersten "Nein" von B folgt nun aus (3) und (5)

  (6) a > 3

und so fort:

  A: "Nein" => b<21
  B: "Nein" => a>6
  A: "Nein" => b<18
  B: "Nein" => a>9
  A: "Nein" => b<15

Es folgt

  B: 'Ja'

da zusammen mit Information (2) nur eine Möglichkeit bleibt.

Also hört man 7 "Nein" und danach ein "Ja".