Logik Nr. 6 - 10 Aussagen über X

Es folgen 10 Aussagen zu X, einer ganze Zahl zwischen 1 und 10 (inklusive). Nicht alle Aussagen sind wahr, aber auch nicht alle falsch. Welche Zahl ist X?

1. X ist gleich der Summe der Aussagen-Nummern der Falsch-Aussagen in dieser Liste.

2. X ist kleiner als die Anzahl der Falsch-Aussagen in dieser Liste, und Aussage 10 ist wahr.

3. Entweder gibt es genau drei wahre Aussagen in dieser Liste oder Aussage 1 ist falsch (aber nicht beides).

4. Die vorigen drei Aussagen sind alle falsch, oder Aussage 9 ist wahr (oder halt beides).

5. Entweder ist X ungerade, oder Aussage 7 ist war (aber nicht beides).

6. Genau zwei der Aussagen mit ungerader Nummer sind falsch.

7. X ist die Nummer einer wahren Aussage.

8. Die Aussagen mit geraden Nummern sind entweder alle wahr oder alle falsch.

9. X ist das dreifache der Aussagen-Nummer der ersten wahren Aussage in dieser Liste, oder Aussage 4 ist falsch (oder beides).

10. X ist gerade, oder Aussage 6 ist wahr (oder beides).

∨ Lösung

Jeder der folgenden Absätze (A)-(F) beginnt mit einer Annahme. Aus dieser Annahme werden dann Schlussfolgerungen gezogen, bis ein Widerspruch eintritt.
Der ERGO-Teil am Ende fasst dann das Ergebnis des Absatzes zusammen. Jeder Absatz verwendet die Ergebnisse der vorhergehenden Absätze.

(A)
Angenommen, 4 ist falsch. Dann muss auch 9 falsch sein (zweiter Teil des ODERs in 4). Aber 9 ist wahr (zweiter Teil des ODERs in 9: Aussage 4 ist falsch). Widerspruch.

ERGO: 4 ist wahr.

(B)
Angenommen, 1 ist wahr. Dann ist der erste Teil des ODERs in 4 falsch. Der zweite Teil des ODERs in 4 muss wahr sein (A). Daher 9 wahr. Aus 9 wahr (und zweiter ODER-Teil in 9 falsch) folgt, dass X=3. 1 besagt, dass X= Summe der falschen Aussagenummern. Daher ist 3 falsch, und alle anderen Aussagen sind wahr. Daher ist 7 wahr, und die Aussage 3=X ist wahr. Widerspruch.

ERGO: 1 ist falsch.

(C)
Angenommen, 2 ist wahr. Dann ist der erste Teil des ODERs in 4 falsch. Der zweite Teil des ODERs in 4 muss wahr sein (A). Daher 9 wahr. Aus 9 wahr (und zweiter ODER-Teil in 9 falsch) folgt, dass X=6. Damit ist auch 10 wahr. Aus 2 folgt, dass mindestens sieben Aussagen falsch sind. Aber 2, 4, 9, 10 sind bereits wahr. Widerspruch.

ERGO: 2 ist falsch.

(D)
Angenommen, 8 ist wahr. Dann müssen 2, 4, 6, 8, 10 alle wahr sein. Aber 2 ist falsch (C). Widerspruch.

ERGO: 8 ist falsch.

(E)
Angenommen, X ist gerade. Dann ist Aussage 10 wahr: X ist gerade. Dann ist Aussage 9 falsch: Der einzige gerade und durch drei teilbare Kandidat für X ist die Zahl 6; wegen (C) ist 2 aber falsch. Dann ist der zweite Teil des ODERs in 4 falsch. Der erste Teil des ODERs in 4 muss wahr sein (A).
Damit ist 3 falsch. Außerdem ist 6 falsch, da 1, 3, 9 bereits falsch sind. Da X gerade, haben 5 und 7 denselben Wahrheitswert. Falls 5 und 7 beide wahr sind, sind vier Aussagen wahr (4, 5, 7, 10). Dann ist Aussage 3 wahr, ein Widerspruch. Also sind 5 und 7 falsch. Dann sind aber acht Aussagen falsch (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), und höchstens zwei der Aussagen sind wahr. Dann ist wieder Aussage 3 wahr. Widerspruch.

ERGO: X ist ungerade.

(F)
Angenommen, 9 ist falsch. Dann ist der zweite Teil des ODERs in 4 falsch. Der erste Teil des ODERs in 4 muss wahr sein (A).
Damit ist 3 falsch. Außerdem ist 6 falsch, da 1, 3, 9 bereits falsch sind. Dann ist 10 falsch: X ist ungerade (E) und 6 ist falsch. Damit sind 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10 falsch. Da 3 falsch ist, sind die restlichen drei Aussagen 4, 5, 7 wahr. Aber 5 ist dann falsch: X ist ungerade und 7 ist wahr. Widerspruch.

ERGO: 9 ist wahr.

Nun sind 4 und 9 wahr, und 1, 2, 8 falsch, und X ist ungerade.
Da 9 wahr ist, muss 3 wahr sein und X=9 gelten. Damit ist 7 wahr. Damit ist 5 falsch. Damit ist 6 wahr, da 1, 5 falsch und 3, 7, 9 wahr. Damit ist 10 wahr.