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Pprills, Squirde und Glopps

Logik Nr. 3

Alle gebildeten Leute wissen nun, dass Pprills, Squirde und Glopps einfach nur Formen von Nahfen sind. Es ist außerdem bewiesen, dass Squirde sowohl Glopps als auch Nahfen sind.

Allerdings gibt es eine Komplikation: Neuerdings fand man heraus, dass es Glopps gibt, die weder Squirde, Pprills noch Gdynxe sind. Zusätzlich gibt es noch Squirde, die weder Gdynxe noch Pprills sind.

Zugegebenermaßen, manche Pprills und manche Gdynxe sind Glopps, und manche Squirde auch. Aber jetzt wissen wir mehr über Gdynxe: Manche sind
Squirde, manche Glopps und manche komischerweise sowohl Pprills als auch Squirde.

a) Gibt es unter den Gdynxen, die keine Nahfen sind, Glopps?

b) Wenn ein Pprill ein Squird ist, ist es dann auf jeden Fall ein Glopp? Könnte es unter Umständen ein Gdynx sein?

c) Gibt es in diesem gemeinen Universum tatsächlich eine Kreatur, die in der unglücklichen Lage ist, von sich behaupten zu müssen, sowohl ein Pprill und ein Nahf als auch ein Squird und ein Glopp und obendrein auch noch ein Gdynx zu sein?

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Gibt es unter den Gdynxen, die keine Nahfen sind, Glopps?

  NEIN

Wenn ein Pprill ein Squird ist, ist es dann auf jeden Fall ein Glopp?

  JA

Könnte es unter Umständen ein Gdynx sein?

  JA

Gibt es in diesem gemeinen Universum tatsächlich eine Kreatur, die in der unglücklichen Lage ist, von sich behaupten zu müssen, sowohl ein Pprill und ein Nahf als auch ein Squird und ein Glopp und obendrein auch noch ein Gdynx zu sein?

  JA

Informationen

(I1) Alle gebildeten Leute wissen nun, dass Pprills, 
     Squirde und Glopps einfach nur Formen von Nahfen sind. 
(I2) Es ist außerdem bewiesen, daß Squirde sowohl Glopps 
     als auch Nahfen sind.
(I3) Allerdings gibt es eine Komplikation: Neuerdings fand 
     man heraus, dass es Glopps gibt, die weder Squirde, 
     Pprills noch Gdynxe sind.
(I4) Zusätzlich gibt es noch Squirde, die weder Gdynxe noch 
     Pprills sind.
(I5) Zugegebenermaßen, manche Pprills und manche Gdynxe sind
     Glopps, und manche Squirde auch. 
(I6) Aber jetzt wissen wir mehr über Gdynxe: Manche sind
     Squirde, manche Glopps und manche komischerweise sowohl
     Pprills als auch Squirde.

Fragen

(F1) Gibt es unter den Gdynxen, die keine Nahfen sind, Glopps?
(F2) Wenn ein Pprill ein Squird ist, ist es dann auf jeden Fall
     ein Glopp? Könnte es unter Umständen ein Gdynx sein?
(F3) Gibt es in diesem gemeinen Universum tatsächlich eine 
     Kreatur, die in der unglücklichen Lage ist, von sich 
     behaupten zu müssen, sowohl ein Pprill und ein Nahf als
     auch ein Squird und ein Glopp und obendrein auch noch 
     ein Gdynx zu sein?

A) Grundsätzliches

Die Schwierigkeit bei solchen Aufgaben liegt nicht in der logischen Komplexität, die ist nämlich in diesem Beispiel eher bescheiden. Unser Nachdenken über die Problematik wird durch zwei Umstände stark behindert: einmal sind die Informationen in einer chaotischen Form gegeben, zum anderen sind die Begriffe inhaltsleer - ich jedenfalls habe nur an irgendwelche Aliens gedacht ( wobei ich mir Glopps irgendwie klein und fett vorstelle ... ).

Dementsprechend gibt es auch zwei Methoden, solche Aufgaben zu lösen. Die eine besteht darin, die Informationen einheitlich und systematisch so darzustellen, dass sich die Fragen dann leicht beantworten lassen. Dieses Vorgehen ist allgemein anwendbar und lässt  sich sogar programmieren. Eine solche Methode habe ich entwickelt und werde sie im nächsten Abschnitt unter dem Titel "Die langweilige Lösung" vorstellen.

Die zweite Methode ist genial, kreativ und ich kann leider keine solche Lösung anbieten, sondern lediglich skizzieren, wie sie aussehen könnte. Es ist die "beautiful mind" - Lösung und sie beruht darauf, die inhaltsleeren Begriffe Gdynx, Glopp usw. auf allgemein bekannte,  natürliche Begriffe - vielleicht Berufsgruppen? - so abzubilden, dass die Informationen (I1) - (I6) weiterhin erfüllt sind. Wenn man dann die Fragen in dem bekannten Bereich beantwortet hat, müssen diese Antworten auch für unsere lieben Aliens gelten, da logische Sachverhalte eben vom Inhalt unabhängig sind. Vielleicht findet Ihr eine solche "romantische" Lösung. Die wäre allerdings nicht verallgemeinerungsfähig.

B) Die langweilige Lösung

Wie systematisiert man die Informationen, so dass man kleine Informationseinheiten leicht miteinander kombinieren kann?

Ich habe mal damit angefangen, die unhandlichen Begriffe loszuwerden, indem ich jedem Begriff eine "Position" zugeordnet habe, etwa so:

Pprill - Position 1
Squird - Position 2
Glopp  - Position 3
Nahf   - Position 4
Gdynx  - Position 5

Ein konkretes Alien aus dem Fantasieuniversum kann ich jetzt vollständig beschreiben, indem ich für jeden der 5 Begriffe sage, ob er zutrifft oder nicht. Das sieht dann etwa so aus:

  [0,0,1,1,0] 

Dieses Alien wäre kein Pprill (Position 1 ist 0), kein Squird (Position 2 ist 0), aber ein Glopp (Position 3 ist 1). Es wäre ein Nahf (Position 4 ist 1), aber kein Gdynx (Position 5 ist 0).

Jetzt möchte ich noch so etwas formulieren können wie "es gibt ..." oder "es gibt nicht ...". Das mache ich so:

Beispiel: "Es gibt einen Glopp, der kein Gdynx ist."

  +[*,*,1,*,0]  

1 an Position 3 heißt "ist Glopp", 0 an Position 5 heißt "ist kein Gdynx"). Das "+" steht für "Es gibt ..." und die * sagen, das diese Positionen keine Rolle spielen.

Beispiel: "Es gibt keinen Squird, der gleichzeitig Glopp und Pprill ist."

  -[1,1,1,*,*]

Hier steht das "-" für "es gibt nicht ...".

Gut, das sollte jetzt reichen, um unsere Informationen (I1) bis (I6) aufzuschreiben:

(I1) besteht eigentlich aus 3 Informationen, nämlich: jeder Prill ist ein Nahf, jeder Squird ist ein Nahf und jeder Glopp ist ein Nahf. Wie formuliert man so etwas in unserer neuen Sprache? Der Satz "Jeder Pprill ist ein Nahf." bedeutet dasselbe wie "Es gibt keinen Prill, der kein Nahf ist.", also -[1,*,*,0,*]. Insgesamt:

(I11):  -[1,*,*,0,*]
(I12):  -[*,1,*,0,*]
(I13):  -[*,*,1,0,*]

Das sieht doch schön einheitlich  und langweilig) aus.

(I2) sagt, das jeder Squird ein Nahf (das ist aber schon (I11)) und ein Glopp ist, also:

(I2):   -[*,1,0,*,*] "Es gibt keinen Squird, der kein 
                      Glopp ist"
(I3):   +[0,0,1,*,0] "Es gibt Glopps, die weder Pprills, 
                      Squirde noch Gdynxe sind."
(I4):   +[0,1,*,*,0] "Es gibt Squirde, die weder Gdynxe 
                      noch Prills sind."

(I5) besteht wieder aus 3 Informationen

(I51):  +[1,*,1,*,*] "Manche Pprills sind Glopps."
(I52):  +[*,*,1,*,1] "Manche Gdynxe sind Glopps."
(I53):  +[*,1,1,*,*] "Manche Squirde sind Glopps."

Auch (I6) beinhaltet wieder 3 Infos:

(I61):  +[*,1,*,*,1] "Manche Gdynxe sind Squirde."
(I62):  +[*,*,1,*,1] "Manche Gdynxe sind Glopps."
(I63):  +[1,1,*,*,1] "Manche Gdynxe sind Pprills wie 
                      auch Squirde."

Das war's, wir haben die Infos in 12 Sätzen unserer neuen Sprache einheitlich dargestellt ... und was bitte sehr hat uns das gebracht?

Nehmen wir uns doch mal die erste Frage und formulieren sie in unserer neuen Sprache als Behauptung:

(F1)    +[*,*,1,0,1] "Es gibt unter den Gdynxen, die
                      keine Nahfen sind, Glopps."

Welche möglichen Antworten können wir geben und wann können wir sie geben? "Nein" können und müssen wir sagen, wenn (F1) einem "-" - Satz aus unseren Grund- Informationen widerspricht. "Ja" können und müssen wir sagen, wenn (F1) aus einem unserer "+" - Sätze folgt. Wenn beides nicht der Fall ist, dann müssen wir weitersehen, eventuell können wir die Frage aufgrund unserer Informationen nicht beantworten.

Wir machen also zunächst den "Check auf nein" für (F1):

(F1)    +[*,*,1,0,1]
(I11)   -[1,*,*,0,*]

Ist kein Widerspruch, da in (F1) der erste * ja eine 0 sein könnte.

(F1)    +[*,*,1,0,1]
(I12)  -[*,1,*,0,*]

Ist auch o.k. , der zweite * in (F1) könnte eine 0 sein.

(F1)    +[*,*,1,0,1]
(I13)   -[*,*,1,0,*]

Hoppla, das geht nicht zusammen! Das ist ganz leicht zu sehen, ohne dass man die ursprüngliche Bedeutung kennt. Übersetzt in "normale" Sprache würde das Ergebnis lauten:

Die Antwort auf (F1) lautet "nein", weil die Behauptung:

"Es gibt unter den Gdynxen, die keine Nahfen sind,
 Glopps."

der Information (I13):

"Jeder Glopp ist ein Nahf."

widerspricht. Und wenn man ein bisschen darüber nachdenkt, sieht man das auch ein.

Jetzt zur Frage (F2), zunächst der erste Teil als Behauptung:

(F21)  "Jeder Pprill, der ein Squird ist, ist auch ein 
        Glopp."

Ich glaube -(F21), die Umkehrung, ist einfacher zu behandeln:

-(F21)  "Es gibt einen Pprill, der ein Squird ist, aber 
         kein Glopp."

oder

-(F21)  +[1,1,0,*,*]

Wir checken -(F21) auf "nein":

-(F21)  +[1,1,0,*,*]
(I11):  -[1,*,*,0,*]

Das ist ok.

-(F21)  +[1,1,0,*,*]
(I12): -[*,1,*,0,*]

ok.

-(F21)  +[1,1,0,*,*]
(I13):  -[*,*,1,0,*]

ok.

-(F21)  +[1,1,0,*,*]
(I2)    -[*,1,0,*,*]

Hoppla, das geht nicht. Die Antwort auf -(F21) lautet also "nein", das heißt die Antwort auf (F21) lautet "ja" wegen (I2) oder in Worten:

(F21)   "Jeder Pprill, der ein Squird ist, ist auch ein
         Glopp."

weil

(I2)    "Squirde sowohl Glopps als auch Nahfen sind."

Das hört sich vernünftig an.

Wenden wir uns der Frage (F22) zu:

(F22)   "Wenn ein Prill ein Squird ist, könnte er dann 
         unter Umständen ein Gdynx sein?"

Oder als Behauptung in unserer neuen Sprache:

(F22)   +[1,1,*,*,1]

Wir checken zunächst auf "nein" und können gleich sagen, dass dieser Check nichts ergibt, weil all unsere "-" - Sätze entweder in Position 4 (I11 - I13), oder in Position 3 (I2) eine 0 stehen haben und da könnte der * in (F22) eine 1 sein.

Wir müssen also einen Check auf "ja" machen. Dazu kombinieren wir (F22) der Reihe nach mit unseren "+" - Sätzen:

Ich überspringe mal die langweiligen und komme direkt zur interessanten Kombination:

(F22)   +[1,1,*,*,1]
(I63):  +[1,1,*,*,1]

Das ist dasselbe! - Also lautet die Antwort "ja". Die Begründung in Worten:

(F22)   "Wenn ein Prill ein Squird ist, dann könnte er
         unter Umständen ein Gdynx sein."

weil

(I63)   "Manche Gdynxe Pprills wie auch Squirde sind."

Hier hat schon die Übersetzung in den Formalismus gereicht, um die Behauptung zu bestätigen.

Wir kommen jetzt zur interessantesten Frage (F3). Als Behauptung formuliert sieht das so aus

(F3)    +[1,1,1,1,1] "Es gibt das eierlegende Wollmilch-Alien"

Man sieht gleich, das der "nein" - Check nichts ergibt, weil in all unseren "-" - Sätzen eine 0 vorkommt, also kein Widerspruch zu (F3) entsteht. Leider sieht man auch sehr schnell, dass all unsere "+" - Infos zu schwach sind, um (F3) im "ja" - Check zu bestätigen.

Müssen wir also sagen, dass wir aufgrund unserer Informationen (F3) nicht entscheiden können?

Nein, das müssen wir nicht! - Wir kommen jetzt zum spannenden Teil. Was haben wir bislang getan, um unsere Fragen zu beantworten? Wir sind einfach unsere Infos durchgegangen und haben Sie mit der jeweiligen Frage im "ja" - oder "nein" - Check kombiniert. Das hat bislang ausgereicht. Was wir aber noch nicht probiert haben, ist folgendes: Wir kombinieren unsere "+" - und "-" - Sätze untereinander, um so zu neuen Sätzen zu gelangen!

Wie? Ich zeige das mal an einem Beispiel:

Ich möchte gerne (F3) bestätigen und nehme mir eine Information, die nahe an (F3) herankommt:

(I63):  +[1,1,*,*,1]

Jetzt kombinieren wir diese mit (I11):

(I63):  +[1,1,*,*,1]
(I11)   -[1,*,*,0,*]
--------------------
(I7)    +[1,1,*,1,1]

Ich behaupte jetzt, dass (I7) eine neue gültige Information ist. (I63) können wir doch auch so schreiben:

( +[1,1,*,0,1] oder +[1,1,*,1,1] ) 

denn ein Beispiel für (I63) - das es ja geben muss - ist entweder ein Nahf oder nicht. Der linke Teil würde aber (I11) widersprechen, also muss der rechte Teil gelten.

Jetzt machen wir weiter und kombinieren (I7) mit (I2):

(I7)    +[1,1,*,1,1]
(I2):   -[*,1,0,*,*]
--------------------
(I8)    +[1,1,1,1,1]

(I8) ist aber (F3), also lautet die Antwort auf (F3) "ja".

Jetzt fassen wir mal die ganze Sache wieder in Worte:

Zunächst die erste Kombination:

(I63):  +[1,1,*,*,1] "Manche Gdynxe sind Pprills wie auch Squirde." und
(I11)   -[1,*,*,0,*] "Jeder Pprill ist ein Nahf". Daraus folgt
--------------------
(I7)    +[1,1,*,1,1] "Es gibt Gdynxe, die auch Pprills, Squirde und Nahfen sind."

Jetzt die zweite Kombination:

(I7)    +[1,1,*,1,1] "Es gibt Gdynxe, die auch Pprills, Squirde und Nahfen sind." und
(I2):   -[*,1,0,*,*] "Es gibt keinen Squird, der kein Glopp ist"
--------------------
(I8)    +[1,1,1,1,1] "Es gibt Gdynxe, die Pprills, Squirde, Nahfen und Glopps sind."

Damit haben wir unsere Aufgabe auf die langweilige Art gelöst.

c) Eine Veranschaulichung