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Zahlenreihe

Los Acertijos de Oscar Nr. 10 – Lösung

Ordnen Sie so viele Zahlen zwischen 1 und 50 (inklusive) in einer Reihe an, wobei gilt, dass jede Zahl die Summe oder Differenz der beiden Nachbarn sein muss (mit Ausnahme der ersten dun der letzten Zahl der Reihe).

Beispiel: 3 - 10 - 7 - 17 - 24 - 41 (10=3+7; 7=17-10; 17=24-7; 24=41-17).

Lösung von Robert Craig Harman

41, 25, 16, 9, 7, 2, 5, 3, 8, 11, 19, 30, 49 (also backwards)

Essentially, one can show that the series consists of two monotonic subseries, one decreasing and one increasing, sutured at their minima (L1 and R1) to another number (Z) such that:

L2 = L1 + Z
L1 + R1 = Z
Z + R1 = R2

..., L3, L2, L1, Z, R1, R2, R3, ...

And L1<>R1, otherwise they are the same series to the left and the right.

Naturally, Z>L1 and Z>R1.

To find the longest pair of subseries, we try different small values for L1 and R1, making sure to exclude subseries with duplicate numbers.

For L1 = 1, the longest series without duplicates, each with twelve members, are found at R1=4 and R1=5:

   33, 20, 13, 7, 6, 1, 5, 4, 9, 13, 22, 35

   38, 23, 15, 8, 7, 1, 6, 5, 11, 16, 27, 43

For L1 = 2, the longest series without duplicates, with thirteen members, is found at R1=3:

   41, 25, 16, 9, 7, 2, 5, 3, 8, 11, 19, 30, 49

For L1>2, all series have 11 members or fewer, so the (L1,R1) = (2,3) series is the longest possible....

Lösung von Jürgen Helbig

Erst einmal ist die Bedingung trickreich formuliert, denn jede folgende Zahl ist ebenfalls Summe oder Differenz der vorhergehenden.

Man hat nur beim ersten Mal die Wahl, ob man plus oder minus rechnet, denn es gibt folgende 3 Möglichkeiten:

a, b, a+b seien die letzten Zahlen, dann gäbe - wieder a, also ist + dran.

a, b, a-b seien die letzten Zahlen, dann gäbe + wieder a, also ist - dran.

a, b, b-a seien die letzten Zahlen, dann gäbe - wieder a, also ist + dran.

Ich habe das dann programmiert (erste und zweite Zahl jeweils von 1 bis 50, gleiche weg) und es ergeben sich 2 Reihen der Länge 13, natürlich ist die eine die Umkehrung der anderen



 

   41, 25, 16,  9, 7, 2, 5, 3, 8, 11, 19, 30, 49

   49, 30, 19, 11, 8, 3, 5, 2, 7,  9, 16, 25, 41

Es gibt 4 Reihen der Länge 12 und 18 der Länge 11.

Anbei noch die Komplettlösung in EXCEL.