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Hitori

Regeln und Lösungstechniken

Im ersten Teil werden die Regeln noch einmal ausführlich dargestellt. Im zweiten Teil werden typische Lösungstechniken gezeigt, denen man beim Lösen von Hitori-Rätseln immer wieder begegnet.

Regeln

Färben Sie die Felder des Diagramms entweder hell oder dunkel.

Anmerkung: Im Original ist das Diagramm nur schwarz und weiß, und die Anweisung lautet: "Färben Sie einige Felder dunkel, sodass ...". Die hellen Felder sind also nicht hell zu färben, sie sind bereits hell. Dafür hat man das Problem, sicher als hell erkannte Felder als solche zu markieren, z.B. durch einen Kringel.

 

In einer Zeile oder Spalte des Diagramms darf keine Zahl mehr als einmal auf hellen Feldern stehen bleiben:

In der ersten Zeile stehen beispielsweise zwei 4er. Mindestens einer davon muss dunkel gefärbt werden. Es kann aber auch sein, dass (aufgrund anderer Regeln) beide Felder dunkel sind.

 

Zwei dunkle Felder dürfen weder horizontal noch vertikal benachbart sein (diagonale Nachbarschaft ist erlaubt)

Im Diagramm links dürfen die beiden roten Felder nicht beide dunkel sein; die beiden grünen Felder hingegen schon.

 

Die dunklen Felder dürfen die hellen Felder nicht in zwei oder mehr Bereiche zerlegen; d.h. die hellen Felder müssen orthogonal transitiv zusammenhängen.

Mit anderen Worten: Jedes weiße Feld muss von jedem andern weißen Feld durch fortgesetzte Sprünge auf ein horizontales oder vertikales Nachbarfeld erreichbar sein.

In dem Diagramm links gibt es drei disjunkte Bereiche heller Felder, die rot, grün und gelb gefärbt sind.

Beispiel

(wird ergänzt)

Lösungstechniken

Wie löst man eine Hitori-Aufgabe? Zunächst einmal durch konsequente Anwendung von Nachbarschafsregeln und Zusammenhangsregeln. Und wenn dann die Aufgabe noch nicht gelöst ist, durch mehr oder weniger komplexe "was-wäre-wenn" Analysen.

a) Einfache Färbungsregeln

Die folgenden Regeln folgen unmittelbar aus der Regel, dass keine zwei Zahlen in der gleichen Zeile oder Spalte auf einem hellen Feld stehen darf.

 

Wenn ein Feld, aus welchem Grund auch immer, als dunkel identifiziert wurde, müssen alle horizontalen oder vertikalen Nachbarn hell sein, da ja keine dunklen Felder benachbart sein dürfen.
     
Wenn ein Feld, aus welchem Grund auch immer, als hell identifiziert wurde, müssen alle anderen Felder mit der gleichen Zahl in der gleichen Zeile oder Spalte dunkel sein.
     
Stehen drei gleiche Zahlen nebeneinander, kann das mittlere Feld nicht dunkel sein, da mindestens zwei der drei Felder dunkel sein müssen und dunkle Felder nicht benachbart sein dürfen. Das mittlere Feld ist also hell; die anderen beiden sind dunkel.
     
Stehen eine Zahl zwischen zwei gleichen Zahlen, muss diese Feld hell sein, da ja mindestens eines der beiden Nachbarfelder dunkel sein muss.
     
Stehen in einer Zeile oder Spalte zwei gleiche Zahlen nebeneinander und steht in der gleichen Zeile oder Spalte die Zahl nochmals, so muss diese dunkel sein, da eine der beiden benachbarten Zahlen hell sein muss.

 

b) Einfache Zusammenhangsregeln

Auch aufgrund der Regel, dass alle hellen Felder zusammenhängen müssen, können helle Felder identifiziert werden. In den folgenden Diagrammen muss das jeweils rot markierte Feld hell sein, da sonst das mit "x" markierte weiße Feld von den anderen weißen Feldern separiert werden würde:

Stehen zwei gleiche Zahlen in der nähe einer Ecke (linkes Diagramm), dann kann ein Feld weiß gefärbt werden (rechtes Diagramm). Betrachten wir die linke obere Ecke: Einer der beiden 2er muss dunkel sein. Ist es der linke, dann muss das Feld darunter aufgrund der Nachbarschaftsregel hell sein. Ist es das rechte, dann muss das Feldschräg links darunter aufgrund der Zusammenhangsregel hell sein (da sonst das Eckfeld separiert sein würde). Das Feld ist also auf jeden Fall hell!

Eine ähnliche Argumentation gilt beispielsweise für das folgende Diagramm und auch für viele andere, ähnliche Situationen:

 

c) "was-wäre-wenn" Analysen

Wenn dieses Feld schwarz wäre, dann müsste dieses Feld weiß sein, und dieses auch, und dann müsste jenes Feld schwarz sein – was aber nicht sein kann, denn dann würden zwei disjunkte Bereiche weißer Felder entstehen. Also muss das erste Feld (von dem wir ausgegangen sind) weiß sein.

Dies ist ein einfaches Beispiel für eine was-wäre-wenn Analyse. Derartige Analysen werden bim Lösen vieler Logikaufgaben angewandt; unter anderem basieren auch die oben dargestellten Nachbarschaftsregeln und Zusammenhangsregeln darauf. Zum Beispiel:

Wenn das rote Feld schwarz wäre, würde das weiße Feld links oben einen eigenen Bereich ohne Verbindung zu den anderen weißen Feldern bilden. Dies ist nicht erlaubt, also muss das rote Feld weiß sein.

Bei was-wäre-wenn geht es in der Regel darum, eine Annahme zu widerlegen, nicht eine Annahme zu bestätigen. Wenn man also ein Bauchgefühl hat, wie die Lösung aussehen könnte, sollte man das Gegenteil annehmen und einen Widerspruch konstruieren. Beispiel: "Nehmen wir an, Feld X ist hell, dann ist Y dunkel und Z ist hell ... passt" – damit ist nichts gewonnen, da damit nicht bewiesen ist, dass Feld X hell ist. Hingegen: "Nehmen wir an, Feld X sei dunkel, dann muss Y hell sein und Z dunkel ... Z kann aber nicht dunkel sein, weil das Feld neben Z bereits dunkel ist, also war die Annahme falsch und Feld X muss hell sein" – das hilft weiter.

Linkes Diagramm: Nehmen wir an, der grüne 3er wäre dunkel. Dann müssen alle Nachbarfelder hell sein.

Rechtes Diagramm: Aufgrund des hellen 4ers müsste der andere 4er dunkel sein (rot); und aufgrund des hellen 2ers müsste der 2er in der gleichen Spalte dunkel sein (blau).

Die drei dunkeln Felder würden aber den hellen 2er (blau) separieren, was verboten ist. Der 3er muss also hell sein, die Annahme, er sei dunkel, war falsch!

Im Grunde ist eine "was-wäre-wenn" nur eine andere Bezeichnung für Versuch-und-Irrtum (trial-and-error). Das menschliche Gehirn ist allerdings bei der Mustererkennung so mächtig, dass es einfache was-wäre-wenn Analysen nicht als Vesuch-und-Irrtum empfindet, sondern als komplexere logische Schlussfolgerung. Für ein Programm ist das anders, da gibt es zwischen einfachen und komplexen was-wäre-wenn Analysen keinen Unterschied, beides beruht auf »backtracking«.

In manchen Logikrätseln (z.B. Sudoku) sind was-wäre-wenn Analysen verpönt. Aber auch die einfachen Regeln basieren letztlich (wie oben gezeigt) auf was-wäre-wenn Analysen, es geht nur um den Grad der Komplexität. Generell gilt: Eine was-wäre-wenn Analyse ist akzeptabel, wenn sie ein durchschnittlicher Mensch mit etwas Konzentration "im Kopf" durchführen kann.

 

d) Meta-Schlussfolgerungen

Meta-Schlussfolgerungen wurden von Raymond Smullyan eingeführt, um komplexe logisch Probleme manchmal verblüffend einfach zu lösen:

Wenn ein Rätsel  »sound« (gültig, gesund) ist, d.h. genau eine einzige Lösung hat, dann kann man alles ausschließen, was zu mehreren Lösungen oder zu keiner Lösung führen würde.

Dass ein Rätsel genau eine einzige Lösung hat, ist ein ungeschriebenes Gesetz aller Logikrätsel. Anmerkung: »sound« wurde der Schachproblemsprache entlehnt; das Gegenteil davon ist »cooked« (ungültig, fehlerhaft).

Wir wollen uns nun einige konkrete Metaregeln ansehen:

 

Wenn eine Zahl weder in der gleichen Zeile noch in der gleichen Spalte mehrfach vorkommt, muss das Feld mit der Zahl hell sein.

Warum? Es gibt keine Regel, die erzwingen würde, dass das Feld dunkel sein muss. Schlimmstenfalls wäre es egal, ob das Feld hell oder dunkel ist, aber dann hätte die Aufgabe mindestens zwei Lösungen, wäre also nicht »sound«. Somit muss das Feld hell sein.

Im Diagramm links wurden alle Felder hell gefärbt, die aufgrund dieser Meta-Schlussfolgerung weiß sein müssen.

Unglücklicherweise (oder, besser gesagt, glücklicherweise) hilft das Weißfärben der entsprechenden Felder nicht, die dunklen Felder zu identifizieren. Das Lösen von Hitori-Aufgaben würde sonst nicht besonders interessant sein.

 

Wenn eine Zahl in einer Zeile/Spalte zwei mal vorkommt, eine davon auf einem dunklen Feld steht und die andere Zahl in ihrer Spalte/Zeile nicht mehrfach vorkommt, dann muss diese Zahl auf einem hellen Feld stehen.

Im Diagramm links sind zwei Beispiele gezeigt. Aufgrund des dunklen 3ers muss der andere 3er in der gleichen Spalte hell sein (rot). Aufgrund des dunklen 4ers muss der andere 4er in der gleichen Spalte hell sein (grün).
   
Aber Achtung! Aufgrund des dunklen 2ers muss der 2er in der gleichen Spalte hell sein (rot), nicht jedoch der 2er (grün) in der gleichen Zeile – da in der Spalte dieses 2ers ja noch ein weiterer 2er (gelb) steht!

Warum ist das so? Betrachten wir den dunklen (roten) 3er im ersten Diagramm. Es gibt keine Regel, die es erzwingen würde, dass der (rote) 3er in der gleichen Spalte dunkel zu färben wäre. Schlimmstenfalls ist es also wieder egal, ob das Feld hell oder dunkel ist, aber wenn es wirklich egal wäre, dann hätte die Aufgabe mindestens zwei Lösungen!

 

Im übrigen hat die Anwendung von Meta-Schlussfolgerungen zwei Nachteile:

• Wendet man Meta-Schlussfolgerungen an, kann man zwar die Aufgabe möglicherweise schneller lösen, aber nicht mehr feststellen, ob sie »sound« ist oder nicht – man hat die »soundness« ja vorausgesetzt!

• Wendet man Meta-Schlussfolgerungen an, erweitert man eigentlich das Regelwerk um die »soundness«-Regel. Diese ist, wie bereits gesagt, aber eine ungeschriebene Regel. Daher auch der Begriff »Meta« ("über die Regeln hinausgehend", "das eigentliche Regelwerk verlassend").

Da Meta-Schlussfolgerungen bei Hitori sowieso nicht viel helfen, kann man getrost darauf verzichten.