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Mad Mathesis

Geschichten mit Knoten, Nr. 3

Aufgabe 1

Zwei Reisende, die zur selben Zeit abfahren, fuhren auf einer ringförmigen Eisenbahn in entgegengesetzten Richtungen. In jeder Richtung fahren die Züge alle fünfzehn Minuten ab, wobei die östlichen Züge für eine Rundreise drei Stunden brauchen, die westlichen zwei Stunden. Wie viele Züge begegneten jedem von beiden auf dem Weg? Dabei werden diejenigen Züge nicht gezählt, die zu gleicher Zeit im Bahnhof selbst eintrafen.

Aufgabe 2

Sie fuhren wie zuvor im Kreis, wobei jeder Reisende mit eins zu zählen anfing, wenn der dem Zug begegnete, in dem der andere Reisende saß. Wie viele Züge begegneten ihnen nun?"

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Aufgabe 1

Neunzehn

Aufgabe 2

Der östliche Reisende zählte zwölf, der andere acht.

Die Züge brauchten in der einen Richtung 180 Minuten, in der anderen 120 Minuten. Wir gehen vom Umfang eines Kreises in Winkelgrad aus, also von 360, und teilen die Bahnlinie in 360 Einheiten. Dann fuhr die eine Gruppe von Zügen mit einer Geschwindigkeit von zwei Einheiten pro Minute und in Abständen von 30 Einheiten; die andere Folge von Zügen fuhr drei Einheiten pro Minute in Abständen von 45 Einheiten. Ein Zug, der nach Osten losfährt, hat zwischen sich und dem ersten Zug, dem er begegnet, 45 Einheiten: Er legt 2/5 davon zurück, während der andere Zug 3/5 zurücklegt, also treffen sie sich nach 18 Einheiten, und so geht es auf der ganzen Rundfahrt weiter. Ein Zug, der nach Westen abfährt, hat 30 Einheiten zwischen sich und dem ersten Zug, den er trifft: Er legt 3/5 des Weges zurück, während der entgegenkommende Zug 2/5 davon zurücklegt, demnach treffen sie sich nach 18 Einheiten; und so geht es auf der ganzen Rundfahrt weiter. Die Eisenbahnstrecke kann also durch 19 Markierungen in 20 Teile geteilt werden, von denen jeder aus 18 Einheiten besteht; die Züge begegnen sich an jeder Marke; was (1) betrifft, so fährt jeder Reisende an 19 Marken vorbei und begegnet also 19 Zügen.

Beim Problem (2) jedoch fängt der östliche Reisende erst an zu zählen, nachdem er 2/5 der Reise zurückgelegt hat, d. h. wenn er die 8. Marke erreicht; er zählt also nur 12 Marken; entsprechend zählt der andere 8. Sie begegnen einander nach 2/5 von 3 Stunden, oder 3/5 von 2 Stunden, d. h. nach 72 Minuten.