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Lange Divisionen, Nr. 15 - Lösung

  AEFG / BCD = A
  HICJ
  ----
   HAE

Wir können die möglichen Permutationen von A, H, D, und J leicht aufschreiben:

            x              x
  A = 2222233333444466677777888899999
  H = 1111122222333355566666777788888
  D = 3478946789278937923489234923467
  J = 6846828147882682441863642287643

Die beiden mit x markierten Spalten können eliminiert werden, da H und J nicht den gleichen Wert annehmen können.  Der erste Schlüssel zum Lösen dieser Aufgabe ist AxBCD=HICJ, wobei H=A-1. Nur bestimmte Werte von B passen zu den oben oben angegebenen Permutationen. Nehmen wir noch die möglichen Werte von B auf, die nicht mit den Werten für A, H, D und J in Konflikt stehen:

           x y            x
  A = 22222x33334444666777x7888899999
  H = 11111x22223333555666x6777788888
  D = 34789x67892789379234x9234923467
  J = 68468x81478826824418x3642287643
  B = 55555 76667977988889 8999
      76676 98789 98 9 99
      87897  99
      999

Dies eliminiert die rechten sechs Spalten. Auch sehen wir, daß E kleiner als H sein muß (aber nicht Null), was die fünf linken Spalten und die mit y markierte Spalte eliminiert. Zu den verbleibenden Permutationen können wir nun E und G hinzufügen:

  A = 33 333 33 44 4 44 44 6 66 6 77 77 7 7 8 8 8
  H = 22 222 22 33 3 33 33 5 55 5 66 66 6 6 7 7 7
  D = 66 888 99 22 7 88 99 3 77 9 22 33 4 9 2 3 4
  J = 88 444 77 88 8 22 66 8 22 4 44 11 8 3 6 4 2
  B = 79 679 68 79 9 79 78 9 89 8 89 89 9 8 9 9 9
  E = 11 111 11 11 2 11 22 4 44 3 55 55 5 5 5 6 6
                   1    11 2 33 2 33 44 3 4 4 5 5
                           1 11 1 11 22 2 2 3 2 3
                                        1 1 1 1 1
  G = 99 555 88 99 0 33 88 2 66 7 99 66 3 8 1 0 8
                   9    77 0 55 6 77 55 1 7 0 9 7
                           9 33 5 55 33 0 5 9 6 5
                                        9 4 7 5 3

In vielen dieser Permutationen steht G in Konflikt mit einem der anderen Werte. Diese Konflikte sind in der folgenden Tabelle mit x markiert:

       x      x  x   xx
  A = 3x 333 3x 4x 4 xx 44 6 66 6 77 77 7 7 8 8 8
  H = 2x 222 2x 3x 3 xx 33 5 55 5 66 66 6 6 7 7 7
  D = 6x 888 9x 2x 7 xx 99 3 77 9 22 33 4 9 2 3 4
  J = 8x 444 7x 8x 8 xx 66 8 22 4 44 11 8 3 6 4 2
  B = 7x 679 6x 7x 9 xx 78 9 89 8 89 89 9 8 9 9 9
  E = 1x 111 1x 1x 2 xx 2x 4 xx 3 5x xx 5 x 5 6 x
                   x    x1 2 xx x xx 44 3 x 4 x x
                           x 11 x 11 xx 2 2 x 2 3
                                        x 1 x 1 1
  G = 9x 555 8x 9x 0 xx 8x 2 xx 7 9x xx 3 x 1 0 x
                   x    x7 0 xx x xx 55 1 x 0 x x
                           x 33 x 55 xx 0 5 x 6 5
                                        x 4 x 5 3

Wir sortieren die Permutationen um und eliminieren alle x:

  A = 3 333 3 4 4 44 66 66 6 777 77 777 77 88 888 88
  H = 2 222 2 3 3 33 55 55 5 666 66 666 66 77 777 77
  D = 6 888 9 2 7 99 33 77 9 222 33 444 99 22 333 44
  J = 8 444 7 8 8 66 88 22 4 444 11 888 33 66 444 22
  B = 7 679 6 7 9 78 99 89 8 889 89 999 88 99 999 99
  E = 1 111 1 1 2 21 42 11 3 511 44 532 21 54 621 31
  G = 9 555 8 9 0 87 20 33 7 955 55 310 54 10 065 53

Es gilt: H+I=10+E oder H+I=9+E (fall es einen Übertrag von E gibt). Wir können nun I zu der Tabelle hinzufügen:

  A = 3 333 3 4 4 44 66 66 6 777 77 777 77 88 888 88
  H = 2 222 2 3 3 33 55 55 5 666 66 666 66 77 777 77
  D = 6 888 9 2 7 99 33 77 9 222 33 444 99 22 333 44
  J = 8 444 7 8 8 66 88 22 4 444 11 888 33 66 444 22
  B = 7 679 6 7 9 78 99 89 8 889 89 999 88 99 999 99
  E = 1 111 1 1 2 21 42 11 3 511 44 532 21 54 621 31
  G = 9 555 8 9 0 87 20 33 7 955 55 310 54 10 065 53
  I =   99            7           8   5  5     5  6

Damit bleiben nur noch acht Spalten übrig. Wir haben auch schon acht Buchstaben berücksichtigt. Die anderen beiden Buchstaben (C und F) können nur einige wenige Werte annehmen. Hier ist eine Liste aller möglichen Werten von AxBCD=HICJ:

   678  768  943  923  934  829  913  914
    x3   x3   x6   x7   x7   x7   x8   x8
  ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
  2034 2304 5658 6461 6538 5803 7304 7312

Sechs davon können sofort eliminiert werden, da C oben und unten nicht den gleichen Wert hat. Ein weiterer (der ganz rechte) hält einer kurzen Prüfung nicht stand und kann ebenfalls eliminiert werden. Es bleibt nur eine einzige Möglichkeit. Damit haben wir dann auch schon die Lösung:

  7210 / 934 = 7
  6538
  ----
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