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Lange Divisionen, Nr. 3 - Lösung

  DEF / BC = A
  GHI
  ---
   JJ

Diese ist eine sehr schwierige Aufgabe. Es gibt nicht viele Anhaltspunkte:

Das scheint eine ganze Mange zu sein. Alle Aufgaben führen zu ähnlichen Ungleichungen. Allerdings gibt es üblicherweise nützlichere Hinweise, sodaß wir diese Ungleichungen ignorieren und erst verwenden, wenn wir Spalten Permutationen eliminieren.

Wie auch immer, A und B sind größer als D; und A, B und D sind größer als G, wobei G nicht gleich 0 ist. Daraus folgt A>2, B>2, D<8 und G<7. Beginnen wir mit den Permutationen von A und C:

  A = 3333334444466677777788888999999
  C = 2467892378937923468923479234678
  I = 6281478282682441826364262876432

Wenn wir B hinzufügen, können wir für jede Spalte G, H und D bestimmen:

  A = 33333 33333 3333 33333 3333 3333 44444 44444 4444 44444 ...
  C = 22222 44444 6666 77777 8888 9999 22222 33333 7777 88888 ...
  I = 66666 22222 8888 11111 4444 7777 88888 22222 8888 22222 ...
  B = 45789 56789 4579 45689 5679 4568 35679 56789 3569 35679 ...

  A = 4444 6666 66666 6666 77777 77777 7777 77777 7777 7777 ...
  C = 9999 3333 77777 9999 22222 33333 4444 66666 8888 9999 ...
  I = 6666 8888 22222 4444 44444 11111 8888 22222 6666 3333 ...
  B = 3578 4579 34589 3578 35689 45689 3569 34589 3459 4568 ...

  A = 88888 8888 88888 8888 88888 99999 9999 9999 9999 9999 99999
  C = 22222 3333 44444 7777 99999 22222 3333 4444 6666 7777 88888
  I = 66666 4444 22222 6666 22222 88888 7777 6666 4444 3333 22222
  B = 34579 5679 35679 3459 34567 34567 4568 3578 3578 4568 34567

Das ist mehr als unhandlich, aber es scheint keinen anderen Weg zu geben! Wir berechnen nun G, H, und D:

      ***** ***** **** ***** !*** **** ***** ***** **** *****
  A = 33333 33333 3333 33333 3333 3333 44444 44444 4444 44444 ...
  C = 22222 44444 6666 77777 8888 9999 22222 33333 7777 88888 ...
  I = 66666 22222 8888 11111 4444 7777 88888 22222 8888 22222 ...
  B = 45789 56789 4579 45689 5679 4568 35679 56789 3569 35679 ...
  G = 11222 11222 1122 11222 1222 1122 12223 22233 1223 12233 ...
  H = 25147 69252 3628 47069 7039 4706 20486 15937 4268 53719 ...
  D =       22           33  23     33     4            2  4  ...

      !*** **** ***** **** ***** ***** **** **!** **** **!*
  A = 4444 6666 66666 6666 77777 77777 7777 77777 7777 7777 ...
  C = 9999 3333 77777 9999 22222 33333 4444 66666 8888 9999 ...
  I = 6666 8888 22222 4444 44444 11111 8888 22222 6666 3333 ...
  B = 3578 4579 34589 3578 35689 45689 3569 34589 3459 4568 ...
  G = 1233 2345 22355 2345 23456 33456 2346 23366 2346 3446 ...
  H = 5315 5135 28428 3573 26374 07485 3745 52907 6308 4182 ...
  D = 2344 3      4 6    6  4        7    7   4     5   557 ...

      ***** **** ***!* **** ***** ***** **** **** **** **** *****
  A = 88888 8888 88888 8888 88888 99999 9999 9999 9999 9999 99999
  C = 22222 3333 44444 7777 99999 22222 3333 4444 6666 7777 88888
  I = 66666 4444 22222 6666 22222 88888 7777 6666 4444 3333 22222
  B = 34579 5679 35679 3459 34567 34567 4568 3578 3578 4568 34567
  G = 23457 4557 24557 2347 33456 23456 3457 3467 3567 4567 34567
  H = 53173 2084 73195 9757 19753 87654 8764 0865 2087 2108 43210
  D =   5 8  6     668 3      5 7  45 7         8

Alle Spalten mit Konflikten sind mit Sternchen markiert; es bleiben nur wenige Permutationen übrig:

  A = 34778
  C = 89694
  I = 46232
  B = 53567
  G = 11345
  H = 75989
  D = 22456

Damit kann man sinnvoll weiterarbeiten. Wir tragen die möglichen Werte für E ein (H>E):

  A = 33 4 777 777 888
  C = 88 9 666 999 444
  I = 44 6 222 333 222
  B = 55 3 555 666 777
  G = 11 1 333 444 555
  H = 77 5 999 888 999
  D = 22 2 444 555 666
  E = 06 0 018 012 013

Nun tragen wir noch die möglichen Werte für J ein, 10+E-H=J ohne Übertrag und 9+E-H=J mit Übertrag:

       ohne Übertrag     mit Übertrag
  A = 33 4 777 777 888  33 4 777 777 888
  C = 88 9 666 999 444  88 9 666 999 444
  I = 44 6 222 333 222  44 6 222 333 222
  B = 55 3 555 666 777  55 3 555 666 777
  G = 11 1 333 444 555  11 1 333 444 555
  H = 77 5 999 888 999  77 5 999 888 999
  D = 22 2 444 555 666  22 2 444 555 666
  E = 06 0 018 012 013  06 0 018 012 013
  J = 39 5 129 234 124  28 4 018 123 013
      *  *  **  **  **  ** * ***   * ***

In alle Spalten, die mit Sternchen markiert sind, steht der Wert von J in Konflikt mit einem der anderen Werte; diese Spalten können also eliminiert werden.

In der zweiten Spalte (J=9) gibt es einen Übertrag, da I>F. Diese Spalte kann ebenfalls eliminiert werden, da wir ja "ohne Übertrag" vorausgesetzt haben. Ähnlich führen beide verbleibenden Spalten unter der Überschrift "mit Übertrag" nicht zu einem Übertrag (F>I) und können daher eliminiert werden.

Es verbleiben nur drei Möglichkeiten, die wir um die möglichen Werte für F ergänzen:

       ohne Übertrag      mit Übertrag
  A = 33 4 777 777 888   33 4 777 777 888
  C = 88 9 666 999 444   88 9 666 999 444
  I = 44 6 222 333 222   44 6 222 333 222
  B = 55 3 555 666 777   55 3 555 666 777
  G = 11 1 333 444 555   11 1 333 444 555
  H = 77 5 999 888 999   77 5 999 888 999
  D = 22 2 444 555 666   22 2 444 555 666
  E = 06 0 018 012 013   06 0 018 012 013
  J = xx x 1xx 2xx 1xx   xx x xxx xxx xxx
  F =      3   5   3

In Zwei spalten steht der Wert von F in Konflikt zu einem der anderen Werte; nur eine Permutation bleibt übrig, und das ist die gesuchte Lösung:

  603 / 74 = 8
  592
  ---
   11

Normalerweise sind die kleinsten Probleme die schwierigsten!