Rätsel und Puzzles

Lange Divisionen, Nr. 2 - Lösung

  EAGHBI / CDEF = AB
  EFGFG
  -----
   DCEJI
   DAACD
   -----
    HGJG

Diese Aufgabe ist schon schwieriger als die erste. Wir beginnen mit der Feststellung G-G=C. Entweder ist C=0 oder es gibt einen Übertrag von dieser Spalte, in diesem Fall gilt C=9. Aus DCEJI>DAACD schließen wir, daß C>A ist und daher C=9. Wir tragen das in die Aufgabenstellung ein:

  EAGHBI / 9DEF = AB
  EFGFG
  -----
   D9EJI
   DAA9D
   -----
    HGJG

Aus ähnlichen Gründen schließen wir A>F. Dies ist interessant, da entweder AxF=G oder AxF=?G, und A-1-F=D (mit einem Übertrag). Da es keine anderen offensichtlichen Hinweise gibt, schrieben wir alle möglichen Permutationen von A und F in eine Tabelle, wobei wir berücksichtigen, daß A>F, F≠0, F≠1, F≠5, A≠5:

  A = 344677778888
  F = 223323462347

Wir haben auch alle Permutationen nicht berücksichtigt, in die die 6 und eine gerade Zahl involviert ist, also 6xe=...e (6x2=12, 6x4=24, 6x6=36, 6x8=48).

Wir können nun zu jeder Permutation die möglichen Werte für G und D anschreiben:

      * * ** * * *
  A = 344677778888
  F = 223323462347
  G = 682841826426
  D = 010243205430

Wir können nun die mit Sternchen markierten Spalten eliminieren, da gelten muß: D≠0 (keine Zahl kann mit einer 0 beginnen), G≠D und F≠D. Für die verbleibenden Spalten fügen wir die möglichen Werte für I hinzu (G+D=I):

      *  **     
  A = 46788
  F = 23424
  G = 88862
  D = 12253
  I = 90015

I≠9, da C=9. D≠5, da BxF=D. Außerdem muß gelten D>I (ganz rechts unten in der Aufgabenstellung), weil es einen Übertrag aus der linken Spalte gibt. Wir können also die mit einem Sternchen markierten Spalten eliminieren.

Damit stehen G=8, D=2 und I=0 fest. Wir tragen dies in die Aufgabenstellung ein:

  EA8HB0 / 92EF = AB
  EF8F8
  -----
   29EJ0
   2AA92
   -----
    H8J8

Jetzt sehen wir: BxF=2. F ist 3 oder 4. Wenn F=3, dann B=4, und wenn F=4, dann ist B entweder 3 oder 8. Aber wir wissen bereits G=8, also ist so B≠8. Berücksichtigen wir B=4 oder B=3 in der oberen Subtraktion B-8=J, erhalten wir J=6 oder J=5. Wir können diese Werte für B und J in die Tabelle eintragen:

  A = 67
  F = 34
  G = 88
  D = 22
  I = 00
  B = 43
  J = 65

Die linke Spalte können wir eliminieren, da nicht A und J gleichzeitig 6 sein können. Damit haben wir A=7, F=4, B=3 und J=5:

  E78H30 / 92E4 = 73
  E4848
  -----
   29E50
   27792
   -----
    H858

Nun ergibt sich E=6 und H=1, wir haben die Aufgabe gelöst:

  678130 / 9264 = 73
  64848
  -----
   29650
   27792
   -----
    1858

Es gibt wesentlich schwierigere Aufgaben. Die meisten erfordern wesentlich größere Permutationstabellen. Diese können durch Anwendung logischer Schlüsse wieder verkleinert werden, wie wir es beim Lösen dieser Aufgabe getan haben.

Wir hätten eine Abkürzung nehmen können, die wir bisher nicht erwähnt haben:

  EAGHBI / 9DEF = AB
  EFGFG
  -----
   D9EJI
   DAA9D
   -----
    HGJG

Aus diesem Diagramm können wir schließen, daß E um 1 kleiner ist als A (E=A-1), und daß D um 1 kleiner ist als B (D=B-1). Dies folgt aus der Natur der Zahlen, die mit 9m beginnen, wie 9DEF. E ist entweder gleich A (was hier nicht möglich ist) oder um 1 kleiner als A. Die selben Argumente gelten für D and B.

Wir hätten auch H früher bestimmen können. 9-A=H (mit einem Übertrag oder auch nicht). Für alle Werte von A hätten wir zwei Werte für H (einen ohne Übertrag und einen mit Übertrag). Das hätte die Anzahl der Spalten verdoppelt, wäre aber möglicherweise leichter gewesen. Fügen wir beispielsweise H to zur ersten Tabelle hinzu:

     ohne Übertrag  mit Übertrag
  A = 344677778888  344677778888
  F = 223323462347  223323462347
  H = 655322221111  544211110000

Wieder können Spalten eliminiert werden (H≠0, H≠A, H≠F). Andere Spalten würden dann später eliminiert werden.

Dieser Trick (Verdopplung der Anzahl der Permutationen, abhängig von der Existenz eines Übertrags) kann manchmal sehr hilfreich sein.

Das sehen wir gleich bei der nächsten Aufgabe.