Superzahl

Die gesuchte Zahl ist 234256.

Lösungsweg:

Die gesuchte Zahl sei (a b c d e f)

Damit die 4. Potenz der Quersumme sechstellig wird, muss sie größer als 17 und kleiner als 32 sein:

(17⁴ = 83521 ist nur 5-stellig und 32⁴ = 1048576 schon 7-stellig)

Laut Aufgabenstellung sind

(10a+b) + (10c+d) + (10e+f) und (10f+e) + (10d+c) + (10b+a) Quadratzahlen.

Die kleinste Summe, die hier möglich wäre, ist 27 (z.B. 10+08+09 - die Summe der Ziffern muss ja mindestens 18 sein).

Die größte Summe die hier möglich wäre, ist 274 (z.B. 91+91+92 - die Summe der Ziffern darf ja höchstens 31 sein).

Die beiden Quadratzahlen liegen also zwischen 27 und 274.

Würde man beide Quadratzahlen addieren, so wäre die Summe durch 11 teilbar:

(10a+b) + (10c+d) + (10e+f) + (10f+ e) + (10d+c) + (10b+a) = 11a+11b+11c+11d+11e+11f =
11(a+b+c+d+e+f) = 11 mal die Quersumme

Ich untersuche daher die infrage kommenden Quadratzahlen auf Ihre Teilbarkeit durch 11, beziehungsweise interessiere mich für ihre Reste.

36/11 = 3 Rest 3
49/11 = 4 Rest 5
64/11 = 5 Rest 9
81/11 = 7 Rest 4
100/11 = 9 Rest 1
121/11 = 11
144/11 = 13 Rest 1
169/11 = 15 Rest 4
196/11 = 17 Rest 9
225/11 = 20 Rest 5
256/11 = 23 Rest 3

Von den Quadratzahlen, die bei der Teilung durch 11 einen Rest haben, finde ich keine zwei, deren Summe der Reste gleich 11 ist.

Die beiden Quadratzahlen, die laut Aufgabenstellung durch die Summenbildung entstanden sind, müssen also beide 121 sein.

121 + 121 = 242 und 242/11 = 22

d.h. die Quersumme der gesuchten Zahl ist 22 und 22⁴ ist 234256.

Probe: 23+42+56 = 121 und 65+24+32 = 121