Das letzte Glied der Folge lautet: 187666
Einen "eleganten" Lösungsweg habe ich nicht. Mein Taschenrechner hat
geglüht und etliche Bögen Papier mussten dran glauben.
Zur Lösung dieser Aufgabe nutze ich die Formel
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² = [ n² * (n+1)² / 4]
Damit kann man zunächst grob abschätzen, wie viele Stellen n haben muss,
damit die Summe 21-stellig wird: n muss 6 Stellen haben.
Für die ersten 3 Stellen von n kann man mit einem Überschlag: n² * n² / 4
eine gute Näherung finden:
für 188² * 188² / 4 wären die ersten 3 Stellen bereits 312.
für 187² * 187² / 4 wären die ersten 3 Stellen nur 305.
Daher: 187000 < n < 188000
Durch "Vorabkontrollen" habe ich herausgefunden, welche Zahlen beim
Quadrieren und Multiplizieren in den letzten beiden Stellen eine 84
aufweisen, die dann beim Teilen durch 4 eine 21 ergeben. Es sind dies:
(8, 9), (16, 17), (33, 34), (41, 42), (58, 59), (66, 67), (83, 84) und
(91, 92)
Für 187541 habe ich die komplette Rechnung mal mit Bleistift, Papier und
Taschenrechner durchgeführt. Hinten würde es stimmen, aber vorn noch nicht:
(187541² * 187542²) / 4 = 309264128916720366321
Ein paar Versuche später hat das "Pärchen" (66, 67) dann zum Erfolg
geführt:
187666² * 187667² / 4 = 310089475472083627321
