Wurde die Lösung von Emma nur durch Probieren gefunden? Man kann das
Probieren etwas umgehen.
Wie Emma schrieb, haben wir ABC – CBA = X9Y mit A > C. Da X9Y dieselben
Ziffern wie ABC enthalten soll und C < A, muss also entweder A oder B eine 9
sein.
Annahme, B = 9. Da X < A gilt in dem Falle also X = C und somit Y = A. Wir
haben also A9C – C9A = C9A. Damit sind A9C und insbesondere C gerade. Für A
gilt A = 2*C +1. Wegen A < 9 gibt es dafür aber nur die Möglichkeit C = 2, A
= 5. Dieser Fall ist aber keine Lösung, da 592 – 295 = 297 nicht die
Bedingungen der Aufgabe erfüllt.
Somit muss A = 9 gelten und wir haben die Gleichung 9BC – CB9 = X9Y.
Wenn man sich nur die letzten Stellen anschaut, muss also gelten 10 + C –
9 = C + 1 = Y.
Die Ziffern in X9Y sollen mit den Ziffern in 9BC übereinstimmen. Da Y
weder 9 noch C sein kann, gilt also Y = B und X = C.
Wir haben somit 9BC – CB9 = C9B.
Daraus bekommt man (wenn man die ersten Stellen anschaut): C + C + 1 = 9
und somit C = 4.
Mit dem oben genannten hat man dann auch B = Y = C + 1 = 5.
Damit bleibt nur noch die Zahl 954 übrig. Diese erfüllt auch die
Bedingungen der Aufgabe, also 954 – 459 = 495, ist also die einzige Lösung.
