Angenommen p ist ein Zahl > 3, deren Nachfolger
eine Quadratzahl ist.
Dann gibt es eine natürliche Zahl n mit p + 1 = n², oder anderes
geschrieben
p = n² - 1 = (n - 1) * (n + 1).
Das kleinste n für ein solches Produkt aus natürlich Zahlen ist n = 2:
p =
(n - 1) * (n + 1) = 1 * 3 = 3.
Bei einer Zahl p > 3 ist n > 2. Und dann enthält p zwei echte Faktoren
größer eins, nämlich n - 1 und n + 1, und ist somit nicht prim.
Angenommen, es gäbe eine Quadratzahl q² mit q > 2, deren Vorgänger eine
Primzahl p wäre. Dann würde gelten:
p = q² - 1 = (q + 1) * (q - 1)
wegen q > 2 ist keiner der beiden Faktoren = 1
p kann somit keine Primzahl sein, denn eine Primzahl p lässt sich nur in
die beiden Faktoren 1 und p zerlegen.
Es gibt daher keine Quadratzahl > 4, deren Vorgänger eine Primzahl ist
bzw. eine Primzahl > 3 kann keine Quadratzahl als Nachfolger haben.
