Mathespaß → Denkmal

≡ ► ◄ ▲

Drei Doppelhebel in Bewegung

DENKmal Nr. 2001-21 von Johann Moll

Jemand hat drei Pflöcke, drei Hebel der Länge x und drei weitere Hebel der Länge y.

Alle haben an Ihren Enden Gelenke, durch die sie mit den Pflöcken bzw. untereinander verbunden werden.können. Die Pflöcke werden an drei Punkten, die paarweise den gleichen Abstand s haben, befestigt.

Die ersten drei Hebel werden mit den Pflöcken verbunden, die zweiten drei Hebel mit den Enden der ersten drei Hebel und die freien Enden der zweiten drei Hebel werden untereinander verbunden. In dem so entstehenden Gelenkmechanismus ist der Verbindungspunkt D der Doppelhebel beweglich, soweit es die Hebellängen zulassen.

Alle Positionen, die D einnehmen kann, bilden bei geeigneten s, x und y eine Fläche.

skizze

Aufgaben:

  1. Man beschreibe diese Fläche und gebe für s = 10 Werte für x und y an, für die gilt:
    (i) Jeder Punkt der Fläche ist auch Punkt des durch die drei Pflöcke bestimmten Dreiecks
    (ii) Der Flächeninhalt ist maximal
  2. Man berechne diesen Flächeninhalt.
  3. Man entscheide, ob die gefundene Lösung eindeutig

Anmerkungen von Johann Moll:

Die Idee zu dieser Aufgabe entnahm ich Moderne Mathematik (Hrsg. Gerd Faltings), Akad. Verl.1996

Die Mathematik dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten von W. P. Thurston und J. R. Weeks.

∨ Lösung