ATOM sei die Zahl z.
Dann ist `z^2 = 10000*a + z` mit einer geeigneten ganzen Zahl a.
Daraus ergibt sich `z^2 – z = 10000*a = z * (z - 1)`
Falls z oder z-1 durch 10 teilbar ist, muss es auch durch 10000 teilbar
sein, das geht aber nicht, weil z maximal 9999 sein kann.
Also verteilen sich die Faktoren 5 und 2 getrennt auf z und z – 1, das sind
625 und 16.
Fall 1:
z = 625 * b mit einer ganzen Zahl b. Dann muss z - 1 durch 16 teilbar sein,
also 16 ist ein Teiler von 625*b - 1. Weil 624 = 39*16 ist, muss also 16 ein
Teiler von b - 1 sein. Das geht für b = 1, da ist z nicht 4-stellig, das
nächste b ist 17, das ist zu groß, da ist b 5-stellig.
Fall 2:
z - 1 = 625 * b mit einer ganzen Zahl b. Dann muss z + 1 durch 16 teilbar
sein, also 16 ist ein Teiler von 625*b + 1. Weil 624 = 39*16 ist, muss also
16 ein Teiler von b + 1 sein. Das geht erstmalig für b = 15, damit ergibt
sich z = 9376. Das Quadrat von 9376 ist 87909376, alle Produkte im
schriftlichen Verfahren haben 5 Stellen.
Also ist die (einzige) Lösung ATOM = 9376
