Gute Freunde

Die niedrigste Lösung die ich gefunden habe, ist 9363.

Methode: Tabellenkalkulation mit Vielfachen von 4 (erste Lösung) und überprüfen, welche ganzzahligen Ergebnisse herauskommen.

9363 ursprünglich 
9355 1.nimmt 8 weg 
7484 nimmt sich 1/5 und lässt 4/5 da 
7475 2.nimmt 9 weg 
5980 nimmt sich 1/5 und lässt 4/5 da 
5970 3. nimmt 10 weg 
4776 nimmt sich 1/5 und lässt 4/5 da 
4765 4.nimmt 11 weg 
3812 nimmt sich 1/5 und lässt 4/5 da 
3800 5.nimmt 12 weg 
3040 nimmt sich 1/5 und lässt 4/5 da 
 608 Schlussanteil 

Ich mache jede Veränderung der Freunde rückgängig:

• Bei Nummer 5 ist das: *1,25 + 12,
• bei Nummer 4 ist das: *1,25 + 11,
• bei Nummer 3 ist das: *1,25 + 10,
• bei Nummer 2 ist das: *1,25 + 9,
• bei Nummer 1 ist das: *1,25 + 8.

Nach Nummer 5 ist die Anzahl durch 5 teilbar, mein Beginn für die Rückwärtsrechnung ist 5*a. Wegen der ganzen Zahlen sind alle folgenden Variablen immer ganzzahlig.

• Nummer 5 rückgängig: (5*a)*1,25 + 12 = 6,25*a + 12, also muss a durch 4 teilbar sein, mit a = 4*b ergibt sich 25*b + 12.
• Nummer 4 rückgängig: (25*b + 12)*1,25 + 11 = 31,25*b +26, also muss b durch 4 teilbar sein, mit b = 4*c ergibt sich 125*c + 26.
• Nummer 3 rückgängig: (125*c + 26)*1,25 + 10 = 156,25*c +42,5, also muss c bei Division durch 4 den Rest 2 lassen, mit c = 4*d + 2 ergibt sich 625*d+355.
• Nummer 2 rückgängig: (625*d+355)*1,25 + 9 = 781,25*d +452,75, also muss d bei Division durch 4 den Rest 1 lassen, mit d = 4*e + 1 ergibt sich 3125*e + 1234.
• Nummer 1 rückgängig: (3125*e + 1234)*1,25 + 8 = 3906,25*e +1550,5, also muss e bei Division durch 4 den Rest 2 lassen, mit e = 4*f + 2 ergibt sich 15625*f+9363.

Für f=0 ergibt sich die kleinste mögliche Zahl, nämlich 9363. Bei dieser Lösung kann man auch schnell die nächsten möglichen Zahlen ermitteln, 24988 ist die nächste.