Schlösser und Schlüssel

Die Anzahl der Schlösser muss ein Vielfaches der Anzahl der Räuber sein, sonst ist eine gerechte Verteilung nicht möglich. Jeder Schlüssel muss auf eine Mehrheit der Räuber verteilt werden, sonst bilden die Räuber ohne diesen Schlüssel eine erfolglose Mehrheit. Also bräuchte man z.B. neun Schlösser mit jeweils fünf Schlüsseln, die an die Räuber verteilt werden – oder ein Vielfaches von neun Schlössern mit jeweils fünf Schlüsseln. Bei gleichmäßiger Verteilung bekommt also jeder Räuber z.B. fünf Schlüssel.

Durch eine geeignete Sortierung der Räuber und der Schlüssel kann man immer zur folgenden Anordnung gelangen: R1: 12345, R2: 23456, R3: 34567, R4: 45678, R5: 56789, R6: 67891, R7: 78912, R8: 89123, R9: 91234. Man erkennt, dass die neun Paare R1+R5, R1+R6, R2+R6, R2+R7, R3+R7, R3+R8, R4+R8, R4+R9 und R5+R9 jeweils alle neun Schlüssel besitzen.

Es sollen aber mindestens fünf Räuber erforderlich sein, um alle Schlüssel bereit zu stellen. Nimmt man einen zweiten Satz von neun Schlüsseln hinzu, so muss man Sorge tragen, dass andere neun Paare jeweils alle Schlüssel besitzen. Aber jeder Räuber ist sowohl Teil zweier Paare für den ersten Satz als auch für den zweiten, also gibt es Dreiergruppen, die alle Schlüssel besitzen.

Man kann noch einen dritten und vierten Satz hinzunehmen, aber mehr als 36 verschiedene Paare gibt es nicht; einen fünften Satz hinzuzunehmen, wäre sinnlos. Ordnet man den Schlüsselsätzen eine Farbe zu, so zeigt die folgende Grafik mit jeder Verbindung zweier Punkte ein Paar, das zusammen alle Schlüssel dieser Farbe besitzt.

Es ist leicht, Gruppen von je vier Räubern zu finden, die zusammen alle Schlüssel von allen vier Farben besitzen; es gibt keine Möglichkeit. Verbrechen lohnt sich nicht!