Zahlenbeweis

Ist n die kleinste von vier direkt aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, so ist ihr um 1 vergrößertes Produkt

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1.

Multipliziert man es aus, erhält man

n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1.

Falls dies eine Quadratzahl ist, muss sie die Form

(an² + bn + c)²

haben, die man zu

a²n⁴ + 2abn³ + (2ac + b²)n² + 2bcn + c³

ausmultiplizieren kann.

Da im ersten Polynom die Koeffizienten des biquadratischen und der konstanten Gliedes 1 sind, müssen auch im zweiten Polynom a und b den Wert 1 haben. Somit vereinfacht sich die Form der Quadratzahl zu

n⁴ + 2bn³ + (2 + b²)n² + 2bn + 1.

Setzt man die Koeffizienten der kubischen Glieder der beiden Polynome gleich, erhält man 6 = 2b oder b = 3. Weil mit b = 3 auch die Koeffizienten der beiden quadratischen und die den beiden linearen Glieder gleich sind, ist

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)²

tatsächlich immer eine Quadratzahl.

Ja, diese Aussage ist wahr.

Die 4 Zahlen seien a, (a+1), (a+2) und (a+3)

Man multipliziere die beiden äußeren und die beiden inneren Zahlen miteinander:

(a²+3a) * (a²+3a + 2) = (a²+3a)² + 2(a²+3a)

Addiert man jetzt 1, so erkennt man die Form x² + 2x + 1 = (x + 1)²

(a²+3a)² + 2(a²+3a) + 1 = [(a²+3a) + 1]²