Leitern

Die beiden Dreiecke, die durch die Leitern und die linke oder rechte Wand gebildet werden, sind ähnlich; denn die Winkel am Kreuzpunkt sind als Scheitelwinkel gleich und die Winkel zwischen der linken oder rechten Wand und jeweils derselben Leiter sind als Wechselwinkel gleich.

Daher gilt: (3-b)/b = a/(4-a); daraus folgt:

ab = (3-b)(4-a) = 12–3a–4b+ab; also 12 = 3a + 4b oder b = 3 – 3a/4 oder a = 4 – 4b/3

Der Pythagorassatz bringt uns x² + d² = 9, x² + e² = 16 und q² + 1 = a², p² + 1 = b²

tan(α) = d/x = (d-1)/q = 1/p; daraus folgt d-1 = q/p oder d = 1 + q/p und p = x/d

tan(β) = e/x = (e-1)/p = 1/q; daraus folgt e-1 = p/q oder e = 1 + p/q und q = x/e

Mit diesen Gleichungen nähern wir uns durch eine Iteration schrittweise der Lösung; den Anfangswert für q entnehmen wir der Zeichnung zu 0,85 und geben zur Kontrolle die berechneten Längen der Leitern aus. (Es geht auch mit Excel!)

<?php
$x = 0;
$q = 0.85;
while (true) {
      $a = sqrt($q*$q+1);
      $b = 3-3*$a/4;
      $p = sqrt($b*$b-1);
      $d = 1+$q/$p;
      $e = 1+$p/$q;
      $x1 = sqrt(9-$d*$d);
      if(abs($x1-$x) < 0.000000000000001) break;
      $x = $x1;
      $q = $x/$e;
}

echo "Gangbreite=$x";
echo " kurze Leiter=".sqrt($x*$x+$d*$d);
echo " lange Leiter=".sqrt($x*$x+$e*$e);

Ergebnis: Gangbreite=2.6032877544232 kurze Leiter=3 lange Leiter=4