Inge und Karsten, die mit ihrem Vater oft Denksportaufgaben lösen, sollen 3 voneinander verschiedene natürliche Zahlen bestimmen.
a sei die kleinste, c die größte dieser Zahlen, das Produkt a * b * c betrage 900.
Der Vater nennt seinen Kindern getrennt je eine Zahl und erklärt ihnen dann, dass er Inge die mittlere Zahl b genannt habe.
Die Zahl, die er Karsten mitgeteilt hat, sei entweder der Betrag von a + c oder der Betrag von b + c.
Nachdem die beiden Kinder einige Zeit überlegt hatten, wurde Inge gefragt, ob sie die drei Zahlen nennen könnte.
Sie verneinte die Frage.
Jetzt richtete der Vater die gleiche Frage an Karsten, aber auch er verneinte.
Das wiederholte sich im Wechsel, bis nach siebenmaliger Verneinung Karsten die drei Zahlen a b c nennen konnte.
Welche waren es?
Die Lösung müsste a=3, b=10, c=30 sein. Somit würde das Produkt der Zahlen, 3*10*30, gleich 900 betragen. Die 3 Zahlen sind verschiedene natürliche Zahlen und a ist die kleinste und c die größte Zahl.
Schrittweise Preisgabe des Lösungswegs (zum jederzeit Aussteigen und selber weitermachen!)
1. Keine Tricks
Die Aufgabenstellung ist vollständig und korrekt. (Keine Täuschungen, wie z.B. stumme Verständigung zwischen Geschwistern.) Aus beiden Grundelementen der Aufgabe (der Zahl »900« und dem wiederholten Verneinen) lassen sich alle erforderlichen notwendigen Schlüsse ziehen).
2. Die Zahl »900«
(a) Es gibt nur eine begrenzte Zahl von Möglichkeiten für das Produkt »a*b*c« (mit den Faktoren a, b, c, wobei a < b < c), welche 900 ergeben. Aus dieser Tatsache leiten sich wichtige Folgerungen ab.
(b) Die Zahl der möglichen Produkte beträgt 32. Wenn man sie nach Größe ihrer Faktoren anordnet, enthalten z.B. die ersten drei Reihen:
1, 2, 450
1, 3, 300
1, 4, 225
und z.B. die letzten drei Reihen:
5, 10, 18
5, 12, 15
6, 10, 15
(Eine geordnete Auflistung aller 32 Reihen ist zur Lösung unerlässlich. Die Frage ist: welches der aufgelisteten Produkte »a*b*c« ist das gesuchte?).
3. Karstens Information
(a) Karsten weiß, dass die ihm bekannte Zahl die Summe von entweder »a+c« oder von »b+c« darstellt. Zu den 32 möglichen Produkten gehören 2 x 32 = 64 derartige Summen. Dieses Wissen allein könnte bereits dazu führen, dass Karsten die gesuchte Lösung nennen kann.
(b) Es zeigt sich, dass die meisten (ca. 2/3) dieser Zahlen eindeutig sind, d.h. nur zu einem der möglichen Produkte gehören können. Betrachten wir z.B. die ersten drei Reihen der möglichen Produkte, jeweils ergänzt um die beiden Summen (»a+c«, »b+c«).
1, 2, 450 – 451, 452
1, 3, 300 – 301, 303
1, 4, 225 – 226, 229
Wäre Karsten z.B. die Zahl »303« genannt worden, könnte er eindeutig schließen, dass die gesuchte Lösung »1, 3, 300« sein muss.
4. Inges Information
(a) Inge weiß, dass die ihr bekannte Zahl den mittleren der drei Faktoren (»b«) darstellt. In Kombination mit dem Wissen von Karsten kann sie sich damit der gesuchten Lösung nähern.
(b) Auch hier zeigt sich, dass einige dieser mittleren Faktoren eindeutig sind, d.h. nur zu einem der möglichen Produkte gehören können. Allerdings ist hier der Anteil an eindeutigen Zahlen nur ca. 1/10.
Betrachten wir z.B. wieder die ersten drei Reihen der möglichen Produkte
1, 2, 450
1, 3, 300
1, 4, 225
Wäre Inge z.B. die Zahl »2« genannt worden, könnte sie eindeutig schließen, dass die gesuchte Lösung»1, 2, 450« sein muss.
5. Erstes »Nein« (Inge)
(a) Die nicht-eindeutigen möglichen mittleren Faktoren (3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18) können zu zwei, drei oder gar vier Produkten gehören. Wir führen z.B. die zum mittleren Faktor »5« gehörigen möglichen Produkte auf:
1, 5,180
2, 5, 90
3, 5, 60
4, 5, 45
(b) Die drei eindeutigen mittleren Faktoren sind 2, 20, 25. Die Tatsache, dass Inge die erste Frage des Vaters verneint, beweist, dass der ihr genannte Faktor keine der Zahlen 2, 20, 25 ist sondern eine Zahl aus der Serie »3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18« sein muss. Damit hat sich die Zahl der in Frage kommenden Produkte von ursprünglich 32 auf 29 reduziert. Dies ist die erste Information für Karsten.
6. Zweites »Nein« (Karsten)
(a) Die Tatsache, dass Karsten die Frage des Vaters ebenfalls verneint, beweist, dass die ihm genannte Summe keine der eindeutigen Summen sein kann. Drei- oder vierfache Möglichkeiten für das zugehörige Produkt gibt es bei den Summen (»a+c« und »b+c«) nicht, aber es gibt Doppelzugehörigkeiten. Betrachten wir z.B. die Summe »35«. Sie kann »a+c« von »5*6*30« oder auch »b+c« von »3*15*20« sein.
(b) Es verbleiben insgesamt sechs Summen, die zu verschiedenen Produkten gehören können: » 23, 25, 27, 28, 29, 35«. Karstens Summe muss eine Zahl aus dieser Serie sein. Damit hat sich die Zahl der möglichen Produkte von 29 auf 9 reduziert.
7. Drittes »Nein« (Inge)
Von den verbliebenen 9 möglichen Produkten haben zwei einen mittleren Faktor, der nun eindeutig ist. Dies ist im obigen Beispiel (»5*6*30« und »3*15*20«) sowohl bei der Zahl »6« als auch bei »15« der Fall, denn von den verbliebenen möglichen Produkten hat nur jeweils eines einen mittleren Faktor von »6« oder von »15«. Da Inge aber erneut verneint, können die zu »6« oder »15« zugehörigen Produkte nicht die Lösung sein. Die verbliebene Zahl der Möglichkeiten reduziert sich auf sechs.
8. Viertes »Nein« (Karsten)
In Fortsetzung der aufgezeigten Logik reduziert sich aufgrund von Karstens »Nein« die Zahl der möglichen Produkte auf fünf.
9. Fünftes »Nein« (Inge)
Da Inge wieder »Nein« sagt, kann die ihr genannte mittlere Zahl nicht »12« sein – diese wäre nun nämlich eindeutig. Die Zahl der möglichen Produkte reduziert sich auf vier.
10. Sechstes »Nein« (Karsten)
Bei einem der verbliebenen vier Produkte sind beide zugehörigen Summen eindeutig. Da Karsten wieder »Nein« sagt, bedeutet das, dass dieses Produkt nicht das gesuchte sein kann. Es kommen jetzt nur noch drei Produkte in Frage. Die vom Vater genannte Summe muss entweder »25« oder »29« sein. (Aber keine der beiden erlaubt eine eindeutige Zuordnung von Summe zu Produkt). Es bleiben drei mögliche Produkte übrig.
11. Siebtes »Nein« (Inge)
Eines von den verbliebenen Produkten hat einen eindeutigen mittleren Faktor. Da Inge jedoch wieder »Nein« antwortet, kann das zugehörige Produkt nicht das gesuchte sein. Es bleiben zwei Produkte übrig, welche den gleichen mittleren Faktor besitzen. Dieser ist der vom Vater genannte. Die beiden verbliebenen möglichen Produkte sind
4*9*25« und »5*9*20«.
12. Karsten nennt die Lösung
Wir betrachten die beiden verbliebenen möglichen Produkte mit ihren zugehörigen Summen
4, 9, 25 – 29, 34
5, 9, 20 – 25, 29
Im vorhergegangenen Schritt war bereits klar geworden, dass die Karsten genannte Summe entweder »25« oder »29« sein muss. Da Karsten diesmal nicht wieder »Nein« antwortet, muss die ausschlaggebende Summe »25« sein. (Denn »29« ist nicht eindeutig und hätte wieder zu einem »Nein« geführt. Selbst die Schwester hätte dann nicht mehr weiter helfen können). Aber da die Karsten genannte Summe »25« ist, erlaubt dies ihm schlussendlich, die gesuchten Faktoren und Produkt zu nennen:
5, 9, 20