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Tortenzerlegung (war: Suche dringend Lösung!)

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Moderatoren: Angela, Otto

Beitragvon Gast » 12.10.2004 16:08

Otto hat geschrieben:> 512 Teile

Ok, ich habe jetzt mal die Lösungen methodisch zusammengestellt, siehe http://janko.at/Raetsel/Vermischtes/018.b.htm.

Es gibt offenbar 2 Interpretationen:

a) Man darf die Teile zwischen den Schnitten bewegen. Man kann also mit jedem Schnitt alle bisger erhaltenen Teile halbieren, damit ergeben sich 2^9=512 Teile.

b) Man darf die Teile zwischen den Schnitten nicht bewegen. Bei 4 parallelen waagrechten Schnitten und 5 senkrechten ergeben sich maximal 4x22=88 Teile (siehe Link oben).

Aber: Die waagrechten Schnitte müssen ja nicht parallen zueinander sein, sie können auch einander scheiden. Damit erhält man mehr als die 5 Scheiben. Ich habe keine Ahnung, wie viele Teile sich mit nicht-parallelen waagrechten Schnitten kombiniert mit nicht-parallelen senkrechten Schnitten erreichen läßt (176 Teile?).

~ÔttÔ~


Es gibt noch eine dritte Interpretation - die klassische: Man schneidet den Kuchen ausschließlich senkrecht zur Unterlage.
Das Ergebnis zu Interpretation b) ist richtig für 3 waagerechte und 6 senkrechte Schnitte.
Für 9 beliebige Schnitte bleibe ich bei meiner Lösung: maximal 130 Stück. Hier ein Versuch einer Begründung, die möglichst kurz ist und ohne Grafiken auskommen soll: Jeder Schnitt setzt als Gerade an einer Außenfläche des Körpers an. Die maximale Anzahl an Teilkörpern, die er beim Ansetzen in zwei neue Teile teilt, ergibt sich aus der Anzahl bisheriger Schnittflächen plus eins (also erzeugt der erste Schnitt zunächst einmal einen, der zweite zwei, der dritte drei neue Teile usw. ). Auf dem Weg durch den Kuchen bildet die neue Schnittfläche mit den schon vorhandenen Schnittflächen Schnittgeraden und zwar genauso viele wie es bisherige Schnittflächen gab. Jedesmal wenn sich zwei dieser Schnittgeraden kreuzen, tritt die neue Schnittfläche (das Messer auf dem Weg durch den Kuchen) in ein neues Teil ein, das ebenfalls geteilt wird. Die Anzahl der Teile, die eine Schnittfläche zerteilt, errechnet sich also so: Anzahl des Schnittes plus Anzahl der Schnittpunkte, welche die durch den Schnitt mit bisherigen Schnittflächen erzeugten Schnittgeraden untereinander bilden.
In Zahlen: der erste Schnitt teilt Stück, es entsteht keine Schnittgerade mit anderen Schnittflächen und es entsteht ein neues Stück
der zweite Schnitt teilt zwei Stücke, es entsteht eine Schnittgerade mit dem vorhandenen Schnitt, da diese aber mit sich selbst keinen Schnittpunkt bilden kann, bleibt es dabei: der zweite Schnitt erzeugt nur zwei neue Stücke
der dritte Schnitt teilt zunächst drei Stücke, es entstehen zwei Schnittgeraden, diese haben einen Schnittpunkt; der vierte Schnitt erzeugt also 3+1=4 neue Stücke
der vierte Schnitt teilt zunächst vier Stücke, es entstehen drei Schnittgeraden, diese haben drei Schnittpunkte; der vierte Schnitt erzeugt also 4+3=7 neue Stücke
fünfter Schnitt: 5+6=11
sechster Schnitt: 6+10=16
siebter Schnitt: 7+15=22
achter Schnitt: 8+21=29
neunter Schnitt: 9+28=37
Es entstehen also 1+2+4+7+11+16+22+29+37=129 neue Stücke, insgesamt also 130 Kuchenstücke.

Viele Grüße

Sebastian
Gast
 

Beitragvon Otto » 12.10.2004 21:06

Sebastian,

Du meinst also, mit 4 Schnitten läßt sich eine Torte in 1+2+4+7+11=25 Teile zerlegen? IMHO sind es aber nur 11 Teile, wie die erste Grafik auf Seite http://janko.at/Raetsel/Vermischtes/018.b.htm beweist. Daß diese Grafik richtig ist, hast Du ja schon bestätigt ("Das Ergebnis zu Interpretation b) ist richtig für 3 waagerechte und 6 senkrechte Schnitte").

(Oder noch einfacher: Du zerschneidest die Torte mit einem einzigen Schnitt in 1+2=3 Stücke?!)

Wie begründest Du die Addition der Teilergebnisse? IMHO ergibt die ganz klassische Variante (nur senkrechte Schnitte) 46 Teile.

~ÔttÔ~
Otto
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Beitragvon Gast » 13.10.2004 11:03

Otto hat geschrieben:Sebastian,

Du meinst also, mit 4 Schnitten läßt sich eine Torte in 1+2+4+7+11=25 Teile zerlegen? IMHO sind es aber nur 11 Teile, wie die erste Grafik auf Seite http://janko.at/Raetsel/Vermischtes/018.b.htm beweist. Daß diese Grafik richtig ist, hast Du ja schon bestätigt ("Das Ergebnis zu Interpretation b) ist richtig für 3 waagerechte und 6 senkrechte Schnitte").

(Oder noch einfacher: Du zerschneidest die Torte mit einem einzigen Schnitt in 1+2=3 Stücke?!)

Wie begründest Du die Addition der Teilergebnisse? IMHO ergibt die ganz klassische Variante (nur senkrechte Schnitte) 46 Teile.

~ÔttÔ~


Hallo Otto,

in meinem Beitrag fehlte wohl eine Leerzeile. Meine Ausführungen bezogen sich nicht auf die zunächst erwähnte "klassische Variante", sondern auf beliebige Schnitte durch den Kuchen. Mit 4 Schnitten lassen sich 1+2+4+7=14 neue Stücke erzielen. Der Kuchen hat dann also 15 Stücke.
Wie ich die Addition begründe? Nun: Jeder Summand gibt an, wieviel neue Stücke bei einem Schnitt maximal entstehen können, die muß man wohl zusammenzählen, um das richtige Endergebnis zu bekommen.
Daß die "klassische Variante" zu 46 Kuchenstücken führt, schrieb ich ja schon in einem meiner ersten Beiträge zu diesem Thema.

Viele Grüße

Sebastian
Gast
 

Beitragvon Gast » 07.06.2005 12:15

Anonymous hat geschrieben:
Otto hat geschrieben:> 512 Teile

Ok, ich habe jetzt mal die Lösungen methodisch zusammengestellt, siehe http://janko.at/Raetsel/Vermischtes/018.b.htm.

Es gibt offenbar 2 Interpretationen:

a) Man darf die Teile zwischen den Schnitten bewegen. Man kann also mit jedem Schnitt alle bisger erhaltenen Teile halbieren, damit ergeben sich 2^9=512 Teile.

b) Man darf die Teile zwischen den Schnitten nicht bewegen. Bei 4 parallelen waagrechten Schnitten und 5 senkrechten ergeben sich maximal 4x22=88 Teile (siehe Link oben).

Aber: Die waagrechten Schnitte müssen ja nicht parallen zueinander sein, sie können auch einander scheiden. Damit erhält man mehr als die 5 Scheiben. Ich habe keine Ahnung, wie viele Teile sich mit nicht-parallelen waagrechten Schnitten kombiniert mit nicht-parallelen senkrechten Schnitten erreichen läßt (176 Teile?).

~ÔttÔ~


Es gibt noch eine dritte Interpretation - die klassische: Man schneidet den Kuchen ausschließlich senkrecht zur Unterlage.
Das Ergebnis zu Interpretation b) ist richtig für 3 waagerechte und 6 senkrechte Schnitte.
Für 9 beliebige Schnitte bleibe ich bei meiner Lösung: maximal 130 Stück. Hier ein Versuch einer Begründung, die möglichst kurz ist und ohne Grafiken auskommen soll: Jeder Schnitt setzt als Gerade an einer Außenfläche des Körpers an. Die maximale Anzahl an Teilkörpern, die er beim Ansetzen in zwei neue Teile teilt, ergibt sich aus der Anzahl bisheriger Schnittflächen plus eins (also erzeugt der erste Schnitt zunächst einmal einen, der zweite zwei, der dritte drei neue Teile usw. ). Auf dem Weg durch den Kuchen bildet die neue Schnittfläche mit den schon vorhandenen Schnittflächen Schnittgeraden und zwar genauso viele wie es bisherige Schnittflächen gab. Jedesmal wenn sich zwei dieser Schnittgeraden kreuzen, tritt die neue Schnittfläche (das Messer auf dem Weg durch den Kuchen) in ein neues Teil ein, das ebenfalls geteilt wird. Die Anzahl der Teile, die eine Schnittfläche zerteilt, errechnet sich also so: Anzahl des Schnittes plus Anzahl der Schnittpunkte, welche die durch den Schnitt mit bisherigen Schnittflächen erzeugten Schnittgeraden untereinander bilden.
In Zahlen: der erste Schnitt teilt Stück, es entsteht keine Schnittgerade mit anderen Schnittflächen und es entsteht ein neues Stück
der zweite Schnitt teilt zwei Stücke, es entsteht eine Schnittgerade mit dem vorhandenen Schnitt, da diese aber mit sich selbst keinen Schnittpunkt bilden kann, bleibt es dabei: der zweite Schnitt erzeugt nur zwei neue Stücke
der dritte Schnitt teilt zunächst drei Stücke, es entstehen zwei Schnittgeraden, diese haben einen Schnittpunkt; der vierte Schnitt erzeugt also 3+1=4 neue Stücke
der vierte Schnitt teilt zunächst vier Stücke, es entstehen drei Schnittgeraden, diese haben drei Schnittpunkte; der vierte Schnitt erzeugt also 4+3=7 neue Stücke
fünfter Schnitt: 5+6=11
sechster Schnitt: 6+10=16
siebter Schnitt: 7+15=22
achter Schnitt: 8+21=29
neunter Schnitt: 9+28=37
Es entstehen also 1+2+4+7+11+16+22+29+37=129 neue Stücke, insgesamt also 130 Kuchenstücke.

Viele Grüße

Sebastian
Gast
 

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