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Besondere Zahlen 1

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Besondere Zahlen 1

Beitragvon Georges » 21.09.2004 02:48

Die Zahl 8833 hat eine besondere Eigenschaft. Wenn man die Zahl in der Mitte teilt, die Teile quadriert und die Summe bildet so erhält man wieder die Zahl 8833.

88 * 88 + 33 * 33 = 7744 +1089 = 8833

Unter den vierstelligen natürlichen Zahlen gibt es noch eine mit dieser Eigenschaft. Welche?
Georges
 

Besondere Zahlen 1

Beitragvon Marcel » 24.09.2004 18:40

Das ist die Zahl 1233.
Marcel
 

Beitragvon Otto » 24.09.2004 19:20

Nun, ein Mini-Programm, das einfach alle Möglichkeiten durchprobiert, führt in Sekundenbruchteilen zum Ziel (plus ein paar Minuten Programmierung).

Gibt es einen Lösungsweg, der mit Papier und Bleistift in annehmbarer Zeit zum Ziel führt?

~ÔttÔ~
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Beitragvon Dabbey » 04.10.2004 23:12

Ja gibt es,
wenn man die obrige Aufgabe in Buchstaben fasst:

88² + 33² = 7744 + 1089 = 8833
x² + y² = x² + y² = (x * 100) + y

Den mittleren Teil kann man weglassen und y = 33 setzen.
Daraus folgt:

x² + 1089 = 100x + 33

Nun nach 0 umformen um die p q Formel anzuwenden, bei der es meist zwei lösungen gibt

x² - 100x + 1056 = 0

p= -100 q= 1056

x1,2 = -p/2 +- ./((p/2)²-q)
=>
x1,2 = 50 +- ./(2500 - 1056)
=>
x1,2 = 50 +- 38
=>
x1 = 88
=>
x2 = 12

dazu musste man natürlich erst die idee haben das die zweite zahl auch mit 33 endet ( ach ja das hier ./(...) soll eine wurzel sein, konnte das anders nicht darstellen)
Dabbey
 

Beitragvon Otto » 05.10.2004 10:32

Dabbey hat geschrieben:dazu musste man natürlich erst die idee haben das die zweite zahl auch mit 33 endet


Und das ist des Pudels Kern. Gibt es einen vernünftigen Grund für diese Annahme?

~ÔttÔ~
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Beitragvon Dabbey » 05.10.2004 14:08

Ich weiß nicht was du "einen Vernünftigen Grund nennst" . Aber in der Mathematik wird halt viel rumprobiert und ausgetestet. Man musste halt sehen, das sich eine Gleichung ergibt auf die man die p q Formel anwenden kann, bei der es meist 2 Lösungen gibt. Das ganze spiel lässt sich auch um drehen.
Anstatt für y= 33 einfach x= 88 einsetzen. Dann bekommt man mit Hilfe der p q Formel einmal 33 und einmal -32 raus. Deswegen klappt dieser weg nicht.
Für eine vierstellige Zahl, die die Eigenschaft hat, das wenn man sie in der mitte teilt und beide Teile quadriert, man die summe der ursprünglichen Zahl erhält, gibt es halt nur zwei Möglichkeiten. Und da man wusste das die eine 8833 war, konnte man eine Gleichung erstellen und erstmal damit ausprobieren, ob man so an die zweite kommt.
Ein anderer Weg fällt mir nicht ein, weil sich aus den obengenannten Eigenschaften nur eine Gleichung ableiten lässt, wir aber zwei Unbekannte Parameter haben.
Vieleicht gibt es aber doch eine, und nur ich seh sie nicht.

Greetz Dabbey
Dabbey
 


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