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Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

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Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Syndikuss » 31.07.2017 23:43

Damit ihr nicht zu sehr suchen müsst, ist hier die Aufgabe genannt:

Fluss, Hut und Stock
Mathematik Nr. 39

Ein Spaziergänger mit Stock und Hut wandert stromaufwärts den Fluss entlang. Dabei ging er mit der eineinhalbfachen Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.
Irgendwann warf er aus einer Laune heraus seinen Hut in den Fluss. Kurze Zeit später dämmerte ihm, dass er eigentlich den Stock in den Fluss werfen wollte und nicht den Hut. Also warf er auch noch den Stock in den Fluss, kehrte um und ging mit der doppelten Geschwindigkeit wie zuvor stromabwärts. Er erreichte den Hut, drehte wieder um und ging wieder mit seiner normalen Geschwindigkeit stromaufwärts. Nachdem er wieder 40 Sekunden stromaufwärts gegangen war, schwamm der Stock an ihm vorbei.
Wie viel früher wäre er nach Hause gekommen, wenn er nicht Stock und Hut verwechselt.

angebotene Lösung

Der Mann hat insgesamt 150 Sekunden oder 2,5 Minuten verloren.
Die Zeit zwischen dem Wurf des Hutes und dem Wurf des Stockes sei t1 und die Geschwindigkeit des Flusses sei v.
Der Abstand des Stocks vom Hut im Fluss ist dann 2.5*v*t1. Nachdem der Mann den Hut geborgen hat, bewegt er sich mit der Geschwindigkeit 1.5*v flussaufwärts, während sich der Hut mit der Geschwindigkeit v flussabwärts bewegt. Da der Mann den Stock nach 40 Sekunden trifft, gilt:
2.5*v*t1/(1.5*v+v)=40 und t1=40 Sekunden.
Die Zeit zwischen dem Wurf des Stockes und dem Bergen des Hutes sei t2; dann gilt:
2.5*v*t1+v*t2=3*v*t2 oder t2=1.25*t1 oder t2=50 Sekunden.
Stromaufwärts geht es mit der halben Geschwindigkeit zurück, also 2*50=100 Sekunden. Insgesamt hat der Mann daher 50+100=150 Sekunden verloren. >>>

Wenn man das Rätsel chronologisch aufschlüsselt komme ich auf eine andere Lösung. Denn anhand der eigentlichen Frage, welche Zeit verliert der Mann dadurch, dass er den falschen Gegenstand in den Fluss warf (zumindest verstehe ich das so), müsste man jede Situation für die Lösung berücksichtigen. Die da wäre…..

Meine Ausgangslage ist folgende:

Anhand der 40 Sekunden, die der Mann benötigt, um flussaufwärts vom Hut auf den Stock zu zugehen und der Tatsache, dass er dies mit der 1,5 fachen Geschwindigkeit des Flusses macht, kommen sich Stock und Mann pro einer Sekunde, 2,5 Sekunden näher (1,5 des Mannes plus 1 Sekunde des Stockes). Bei einer Dauer von 40 Sekunden bedeutet das, dass der Abstand bei der Kehrtwendung am Hut zwischen Hut und Stock 40 Sekunden * 2,5 beträgt. Ergo sind das 100 Sekunden.

Das bedeutet aber auch, dass der Mann, weil auch hier Mann und Fluss die gleiche Geschwindigkeit haben, den Stock 40 Sekunden später als den Hut in den Fluss geworfen hat. Diese Zeit hat er schon verloren.

Der Hut hat demnach 100 Sekunden Vorsprung. Der Mann dreht schnurstracks um und geht dem Hut hinterher und das mit 3-facher Flussgeschwindigkeit. Bedeute aber auch, da der Hut mit einer Sekunde weiter treibt, kann der Mann pro drei Sekunden nur zwei Sekunden gut macht. Bei 100 Sekunden Abstand holt er den Hut also nach weiteren 50 Sekunden ein. Somit hat er den Hut nach 150 Sekunden erreicht. Insofern decken sich unsere Lösungen.

Aber..... es geht um den Zeitverlust, den der Mann hat, weil er den falschen Gegenstand in den Fluss warf.

So muss er diese 150 Sekunden-Strecke auch wieder zurückgehen und da er jetzt flussaufwärts nur halb so schnell geht, wie flussabwärts bedeutet das, dass er für die gleiche Strecke 300 Sekunden benötigt. Somit käme diese noch dazu und das Zwichenergebnis würde lauten. Für den Zeitpunkt, als er den Stock in den Fluss warf und dem Erreichen des Ausgangspunktes des Stockes sind demnach 450 Sekunden vergangen. Hinzu kommen noch die 40 Sekunden, die er benötigt hat um Hut und Stock ins Wasser zu werfen, also sind es insgesamt 490 Sekunden.

Denke ich da falsch???
Syndikuss
 
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Suchender » 01.08.2017 12:49

Hallo Syndikuss
Herzlich willkommen auf dieser Seite!
Ich bin zwar nicht der Über-Mathematiker, aber ich zweifle die vorgegebene Lösung auch an.
Der Fehler liegt meiner Meinung nach am Beginn:
"Die Zeit zwischen dem Wurf des Hutes und dem Wurf des Stockes sei t1 und die Geschwindigkeit des Flusses sei v.
Der Abstand des Stocks vom Hut im Fluss ist dann 2.5*v*t1." (richtig wäre: v*t1)
t1 ist somit 100sec;
3v*t2 = v*t1 + v*t2 ergibt ein t2 von 50sec
Doppelte Zeit für "rückweg" 2*t2 = t3 ist 100sec.
Gesamtzeit somit 250sec
[Dein Irrtum liegt meiner Meinung nach im letzten Absatz:
"So muss er diese 150 Sekunden-Strecke auch wieder zurückgehen und da er...."
richtig: Er muß nur die 50 Sekunden Strecke zurückgehen (100 sekunden hat er stehend verbracht)]
falls ich mich irre - wirds sicher bald reaktionen geben
Gruß
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Otto » 01.08.2017 13:52

Habe jetzt keine Zeit, später mehr. Zumindest die 2.5 stimmen aber: Die Geschwindigkeit des Flusses ist v, der Mann bewegt sich mit 1.5 facher Geschwindigkeit flussaufwärts, die Relativgeschwindigkeit zwischen etwas im Fluss treibenden und dem gehenden Mann ist also die des Mannes plus die des Flusses = 1+1.5 = 2.5
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Otto » 01.08.2017 14:03

Nochwas ganz schnell: Zwischen dem Bergen des Hutes und der Passage des Stockes sind nur 40 Sekunden vergangen. Wie kann dann der Zeitverlust mehr als des Zehnfache sein? Das ist schon ohne konkrete Rechnung unplausibel. Wenn ich mir die Situation so vorstelle, komme ich intuitiv auf den Faktor 3~5, also 120 bis 200 Sekunden.
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Suchender » 01.08.2017 14:10

Ich korrigiere meine Antwort - aber lediglich in bezug auf den "zusätzlichen" Zeitverlust.
Die Zeit, bis es dem Wanderer dämmerte, dass er den falschen Gegenstand ins Wasser geworfen hat hätte er sowieso als Pause verwendet.
Er wäre also - ohne Verwechslung - tatsächlich um 150sec früher zu Hause gewesen - wie in der angebotenen Lösung.
Der Abstand zwischen Hut und Stock im Wasser ist der vom Hut, bis zum Reinwerfen des Stocks, zurückgelegte Weg (v*t1)
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Suchender » 01.08.2017 14:23

Ich nehm alles zurück
Da ich fälschlicher weise davon ausging, dass der Wanderer stehen blieb, bis er den Stock ins Wasser warf.
Ich glaub, das löst auch die Diskrepanz für Syndikuss:
Denn Verlorene Zeit ist nur die vom Stockwurf bis zur Hutbergung (50 sek) plus die für den Rückweg bis zum Platz des Stockwurfs (100 sek).
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Syndikuss » 01.08.2017 15:37

Auch ich habe einen Denkfehler gehabt. Nachstehend meine neue Lösung.
Ich versuche es nochmal chronologisch aufzuschlüsseln.

Wir haben nur wenige Zahlen. Die 40 Sekunden die es gedauert hat, um zwischen Hut und Stock hin und her zu gehen und die Laufgeschwindigkeiten des Mannes
Flussaufwärts = 1,5 mal der Flussgeschwindigkeit
Flussabwärts = 3 mal der Flussgeschwindigkeit

1) Hätte er gleich den Stock ins Wasser geworfen, hätte er keinen Zeitverlust gehabt

2) Die Überlegung mit den 40 Sekunden muss doch eigentlich so lauten

Da der Fluss ja selber fliesst und der Mann flussaufwärts das 1,5 fache des Flusses zurücklegt, kommt der Stock dem Mann mit der Wertigkeit „1“ entgegen, der Mann dem Stock mit der Wertigkeit „1,5“. Ergo nähern sie sich mit der Wertigkeit 2,5. Da die Dauer 40 Sekunden ist, nähern sie sich also in einer abgelaufenen Sekunde mit 2,5 Sekunden. Würde der Mann dem Stock nicht entgegen gehen, wäre die Dauer zwischen Hut und Stock lediglich die des Flusses (Wertigkeit „1“). Da beide Stock und Mann sich also pro Sekunde, 2,5 Sekunden nähern, waren Hut und Stock ursprünglich 100 Sekunden auseinander.

3) Jetzt zurück zum Ausgangspunkt:

Der Mann wirft den Hut in den Fluss. Danach geht er weiter flussaufwärts mit der 1,5 fachen Geschwindigkeit des Flusses. Der Hut entfernt sich aber auch mit der eigenen Geschwindigkeit flussabwärts. Auch hier entsteht also die Tatsache, dass Mann und Hut sich pro abgelaufene Sekunde, 2,5 Sekunden entfernen. Dann merkt der Mann seinen Fehler und wirft den Stock in den Fluss. Da Hut und Stock ja jetzt gleichschnell fliessen und der Sachverhalt, wie unter 2) der gleiche ist, tat der Mann das nach 40 Sekunden seiner beiden Handlungen. Die Gegenstände sind aber 100 Sekunden von einander entfernt (40 Sekunden * die Wertigkeit „2,5“). Nun dreht der Mann um und…..

4) geht mit 3 facher Flussgeschwindigkeit dem Hut hinterher, der ja 100 Sekunden entfernt ist. Diese 100 Sekunden muss er aufholen. Jedoch fliesst der Hut ja mit der Wertigkeit „1“, der Mann geht mit der Wertigkeit „3“. Da sich beide jetzt in die gleiche Richtung bewegen, nimmt der Fluss durch seine eigene Geschwindigkeit dem Mann die Wertigkeit „1“ ab und verkürzt die des Mannes auf „2“. Das heisst: pro abgelaufener Sekunde nimmt der Mann dem Fluss, also dem Hut, nur 2 Sekunden ab. Das bedeutet, dass der Mann die Anfangsentfernung von 100 Sekunden einholen muss und das gelingt ihm nach 50 Sekunden

5) Diese 50 Sekunden muss er jetzt zurückgehen zum Ausgangspunkt, an dem er den Stock ins Wasser warf. Mit der Hälfte der Geschwindigkeit dauert das nun 100 Sekunden. Also hat er jetzt, zwischen bemerken seine Fehlers und Erreichen des Ausgangspunktes, 150 Sekunden verbraucht. Jedoch kommt meiner Meinung nach noch die Zeit dazu, die verstreicht, als er bemerkt, dass er den falschen Gegenstand in den Fluss warf. Denn hätte er gleich den Stock reingeworfen, hätte es keinen Zeitverlust gegeben. Somit kommen die 40 Sekunden von 3) dazu. Mein Ergebnis sind dann also 190 Sekunden
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Suchender » 01.08.2017 23:04

@Syndikuss
Ich stimme deiner gesamten Ausführung zu, außer der Bewertung der 40 sekunden zwischen Hut- und Stockwurf.
In dieser Zeit geht der Wanderer weiter in Richtung seines zu Hauses. (Das hätte er - wenn er den Stock anstatt des Hutes geworfen hätte - auch gemacht). Erst als er seinen Fehler erkennt, den Stock wirft und umdreht, beginnt der zeitliche Unterschied zu seinem ursprünglichen Plan. Und von da aus vergehen 150 sekunden (wie du ausgeführt hast) bis er wieder an der selben Stelle ist und seinen Weg fortsetzen kann.
Gruß
Suchender
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Syndikuss » 02.08.2017 15:18

@ suchender

ist es nicht so, dass er anfangs den falschen Gegenstand in den Fluss warf. nach 40 Sekunden bemerkte er seinen Irrtum. Und erst nach diesen 40 Sekunden geht er dem Hut nach.

Meiner Meinung nach geht es ja um die Zeit die er verloren hat. das ist zum einen, die Zeit, die er braucht um wieder an seine Ausgangsstelle zu gelangen und für mich um die Zeit, die verloren geht, weil er den falschen Gegenstand ins Wasser warf. Denn hätte er gleich den richtigen Gegenstand (Stock) hineingeworfen, hätte er die 40 Sekunden nicht verbraucht und auch den Rückweg nicht machen müssen.

Oder ???
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Re: Matherätsel: Fluss-Hut-Stock

Beitragvon Suchender » 02.08.2017 16:40

@Syndikuss
Für mich stellt sich die Geschichte genau so dar, wie du sie nach "es ist nicht so, dass..." erklärst. Und meiner Meinung nach legt das auch die vorgegebene Lösung dar.
In der kurzen Zeit bevor es ihm dämmert, dass er den falschen Gegenstand ins Wasser geworfen hat setzt er ja seinen Weg flußaufwärts fort und verliert somit keine Zeit.
Dann holt er seinen Hut und ist dadurch 150 Sekunden später zu Hause.
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