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Kreisrundes Feld

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Kreisrundes Feld

Beitragvon herbstzwerg » 25.02.2005 11:36

Hallo! Versuche schon seit ewigkeiten dieses scheinbar einfache Rätsel zu lösen:

Ein Bauer hat mitten in der Wüste ein kreisrundes Feld mit dem Radius R auf dem Gras wächst.
Der Bauer hat auch eine Kuh, die aber nur die Hälfte der Fläche abgrasen darf. Deshalb schlägt er genau an der Grundgrenze einen Pflock in die Erde und bindet die Kuh daran fest.
Wie lange muss der Strick im Verhältnis zum Radius R sein???

Viel Spass
herbstzwerg
 
Beiträge: 1
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Beitragvon Raoul » 25.02.2005 12:33

Wohlan:

Das ganze Feld hat die Fläche
Ag = PI x R².

Das halbe Feld mit dem Radius X (also der Länge des Stricks) hat die Fläche
Ah = PI x X².

Ah = Ag / 2

Also: PI x X² = PI x R² / 2
X² = R² / 2
X = R / Wurzel 2



Gruss
Raoul
Raoul
 

Beitragvon Otto » 25.02.2005 13:58

@Raoul: Nööö. Der Halbkreis, den die Kuh (im Original ist es eine Ziege) abgrasen kann, ist kein echter Halbkreis, da die "Grundlinie" des Halbkreises eine Kreislinie ist.

Für diese Problem gibt es keine geschlossene Lösung, kann man nur näherungsweise lösen. Matlab oder Mathematica helfen.

~ÔttÔ~
Otto
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Beitragvon Raoul » 25.02.2005 14:22

Aaaaah ja... ich hatte die Aufgabe falsch gelesen und angenommen, der Pfahl steht in der MITTE des Feldes. Dann sieht die Sache natürlich anders aus. Aber da muss ich wohl übers Wochenende 'n bisschen tüfteln.

Gruss
Raoul
Raoul
 

Beitragvon Raoul » 01.03.2005 10:39

So denn!

Es gibt eine eindeutige Lösung, nämlich:

Der Strick muss 1,15872847 mal dem Radius lang sein!

Ich habe den Spiess umgedreht und angenommen, dass die verbleibende Fläche natürlich auch halb so gross sein muss wie das ganze Feld. Diese verbleibende Fläche hat - wie Otto schon sagte - die Form einer Sichel. Deren Fläche wiederum kann man berechnen, indem man den Kreisabschnitt des unteren Bogens (der von der Ziege erreicht werden kann) vom oberen Bogen (also der Grundstücksgrenze) abzieht. Setzt man die Fläche gleich der halben Feldfläche, so kann man die Länge des Stricks ermitteln und erhält o.g. Faktor.

Ich hoffe, das ist halbwegs verständlich...

Gruss
Raoul
Raoul
 

Beitragvon Gast » 02.03.2005 14:16

So ganz hab ich´s nicht kapiert.
Kannst du mir den Lösungsweg (mathematisch) event. mit Skizze zukommen lassen?!

Danke
Gast
 

Beitragvon Georges » 12.03.2005 10:19

Hallo

Habe einen Link gefunden wo das Problem gut beschrieben ist

http://www.math.tu-berlin.de/aktMath/si ... iegen.html

Georges
Georges
 


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