Hier haben wir in der Tat ein kniffliges Problem. Unsere Lehrbücher sagen
uns, dass alle Kugeln ähnlich sind und dass ähnliche Körper wie die Würfel
der entsprechenden Längen sind. Da die Umfänge der beiden Phiolen einen Fuß
bzw. zwei Fuß betrugen und die Würfel von eins und zwei zusammengenommen
neun ergeben, müssen wir zwei andere Zahlen finden, deren Würfel
zusammengenommen neun ergeben. Diese Zahlen müssen eindeutig Bruchzahlen
sein.
Obwohl Peter de Fermat im siebzehnten Jahrhundert gezeigt hat, wie
eine Antwort in zwei Brüchen mit einem Nenner von nicht weniger als
einundzwanzig Ziffern gefunden werden kann, sind nicht nur alle
veröffentlichten Antworten nach seiner Methode, die ich gesehen habe,
ungenau, sondern niemand hat jemals das viel kleinere Ergebnis
veröffentlicht, das ich jetzt drucke.
Die Würfel von (415280564497 /
348671682660) und (676702467503 / 348671682660) zusammengenommen ergeben
genau neun, und daher sind diese Bruchteile eines Fußes die Maße der Umfänge
der beiden Fläschchen, die der Doktor benötigte, um die gleiche Menge an
Flüssigkeit zu enthalten, wie die hergestellten.
Ein bedeutender
Versicherungsmathematiker und ein anderer Korrespondent haben sich die Mühe
gemacht, diese Zahlen zu verdoppeln, und sie finden beide mein Ergebnis ganz
richtig.
Wenn die Fläschchen einen Fuß bzw. drei Fuß im Umfang hätten, würde eine
Antwort lauten, dass die Würfel von (63284705 / 21446828) und (28340511 /
21446828) zusammen genau 28 ergeben. Siehe auch Nr. 61, "Die Silberwürfel".
Ausgehend von einem bekannten Fall, in dem eine Zahl als Summe oder
Differenz von zwei Würfeln ausgedrückt wird, können wir durch eine Formel
eine unendliche Anzahl anderer Fälle ableiten, die abwechselnd positiv und
negativ sind. So hat Fermat, ausgehend von dem bekannten Fall 13 + 23 = 9
(den wir als Grundfall bezeichnen werden), zunächst eine negative Lösung in
größeren Zahlen erhalten, und von dieser seine positive Lösung in noch
größeren Zahlen. Aber es gibt eine unendliche Anzahl von Grundfällen, und
ich fand durch Versuch eine negative Grundlösung in kleineren Zahlen als
seine abgeleitete negative Lösung, von der ich das oben gezeigte Ergebnis
erhielt. Das ist die einfache Erklärung.
Wir können für jede Zahl bis 100 sagen, ob es möglich ist, sie als Summe
zweier Würfel auszudrücken oder nicht, außer für 66. Die Schüler sollten die
Einleitung zu Lucas' Théorie des Nombres lesen.
Vor einigen Jahren habe ich eine Lösung für den Fall veröffentlicht, dass
von denen Legendre ausführlich einen
»Beweis« für die Unmöglichkeit
gegeben hat; aber ich habe inzwischen festgestellt, dass Lucas mir in einer
Mitteilung an Sylvester zuvorgekommen ist.
