Der Reve war ein gerissener Mann und so etwas wie ein Gelehrter. Wie
Chaucer
uns erzählt, »konnte kein Prüfer von ihm gewinnen» und »niemand konnte ihn in
Verzug bringen«. Der Dichter bemerkte auch, dass er "immer den hintersten Teil
des Weges ritt". Das tat er, damit er ohne Unterbrechung die phantasievollen
Probleme und Ideen ausarbeiten konnte, die ihm durch den Kopf gingen.
Als die
Pilger in einem Gasthaus am Wegesrand einkehrten, fielen ihm eine Reihe von
Käsesorten unterschiedlicher Größe auf, und er rief nach vier Hockern, um
ihnen ein eigenes Rätsel zu zeigen, das sie während ihrer Rast unterhalten
würde. Dann legte er acht Käselaibe unterschiedlicher Größe auf einen der
Hocker, wobei der kleinste Käse ganz oben lag, wie auf der Abbildung deutlich
zu sehen ist.
»Dies ist ein Rätsel«, sprach er, »das ich einst meinen
Mitbürgern in Baldeswell, das ist in Norfolk, gestellt habe, und, beim
heiligen Joce, es gab keinen Mann unter ihnen, der es richtig lösen konnte.
Und doch ist es ganz leicht, denn alles, was ich will, ist, dass ihr, indem
ihr einen Käse nach dem anderen von einem Schemel auf den anderen schiebt,
alle Käse auf den Schemel am anderen Ende bringt, ohne jemals einen Käse auf
einen zu legen, der kleiner ist als er. Demjenigen, der dieses Kunststück mit
der kleinsten Anzahl von Zügen vollbringt, werde ich einen Schluck von dem
Besten geben, das unser guter Gastgeber bereitstellen kann.«
Um dieses Rätsel in möglichst wenigen Zügen zu lösen, zuerst mit 8, dann mit
10 und schließlich mit 21 Käsen, ist eine interessante Herausforderung.
Anmerkung: Eine Variante dieses Rätsels ist unter der Bezeichnung
»Die Türm von Hanoi« bekannt.
Die 8 Steine können in 33 Zügen, die 10 Steine in 49 Zügen und die 21
Steine in 321 Zügen entfernt werden. Ich werde meine allgemeine
Lösungsmethode für die Fälle von 3, 4 und 5 Stühlen angeben.
Schreiben Sie die folgende Tabelle in beliebiger Länge aus:-
| Hocker |
Anzahl der Käselaibe |
|
| 3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Natürliche Zahlen |
| 4 |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
Dreiecke |
| 5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
56 |
84 |
Dreiecke Pyramiden |
| |
Anzahl der Züge |
|
| 3 |
1 |
3 |
7 |
15 |
31 |
63 |
127 |
|
| 4 |
1 |
5 |
17 |
49 |
129 |
321 |
769 |
|
| 5 |
1 |
7 |
31 |
111 |
351 |
1023 |
2815 |
|
Aufbau der Tabelle:
- Die erste Reihe enthält die natürlichen Zahlen.
- Die zweite Reihe erhält
man, indem man die natürlichen Zahlen von Anfang an zusammenzählt.
- Die
Zahlen der dritten Reihe erhält man, indem man die Zahlen der zweiten Reihe
von Anfang an zusammenzählt.
- Die vierte Reihe enthält die
aufeinanderfolgenden Potenzen von 2, abzüglich 1.
- Die nächste Reihe erhält
man, indem man nacheinander jede Zahl dieser Reihe verdoppelt und die Zahl
addiert, die über der Stelle steht, an der man das Ergebnis schreibt.
- Die
letzte Reihe erhält man auf die gleiche Weise.
Die folgende Tabelle liefert sofort
Lösungen für jede Anzahl von Käsen mit drei Stühlen, für Dreieckszahlen mit
vier Stühlen und für Pyramidenzahlen mit fünf Stühlen. In diesen Fällen gibt
es immer nur eine Lösungsmethode, nämlich das Stapeln der Käselaibe.
Im Falle von drei Hockern zeigen die erste und die vierte Zeile, dass 4
Käsestücke in 15 Zügen, 5 in 31 und 7 in 127 Zügen entfernt werden können.
Die zweite und fünfte Zeile zeigen, dass bei vier Hockern 10 in 49 und 21 in
321 Zügen entfernt werden können. Aus der dritten und sechsten Zeile geht
hervor, dass bei fünf Hockern 20 Käselaibe 111 Züge und 35 Käselaibe 351
Züge benötigen.
Aus der Tabelle geht aber auch hervor, welche Art des
Stapelns notwendig ist. Bei vier Hockern und 10 Käsen zeigt die vorige
Spalte, dass wir 6 und 3 Käselaibe stapeln müssen, die 17 bzw. 7 Züge
benötigen, d.h. wir stapeln zuerst die sechs kleinsten Käselaibe in 17 Zügen
auf einen Hocker; dann stapeln wir die nächsten 3 Käselaibe in 7 Zügen auf
einen anderen Hocker; dann entfernen wir den größten Käse in einem Zug; dann
ersetzen wir die 3 in 7 Zügen; und schließlich ersetzen wir die 6 in 17
Zügen: das ergibt insgesamt die erforderlichen 49 Züge. In ähnlicher Weise
wird uns gesagt, dass bei fünf Hockern 35 Käselaibe Stapel von 20, 10 und 4
bilden müssen, wofür 111, 49 bzw. 15 Züge erforderlich sind.
Wenn die Anzahl der Käselaibe bei vier Hockern nicht dreieckig und bei
fünf Hockern nicht pyramidenförmig ist, dann gibt es mehr als eine
Möglichkeit, die Stapel zu bilden, und es werden Hilfstabellen benötigt.
Dies ist der Fall bei den 8 Käsen des Reve. Aber ich überlasse es dem Leser,
sich die Erweiterung des Problems selbst zu überlegen.
