Amusements in Mathematics Nr. 16, Die Verwirrung des Millionärs

Mr. Morgan G. Bloomgarten, der Millionär, in den Staaten als »Clam King« bekannt, hatte mehr Geld, als er zu gebrauchen wusste. Es langweilte ihn. Also beschloss er, einige seiner armen, aber glücklichen Freunde damit zu quälen. Sie hatten ihm nie etwas zuleide getan, aber er beschloss, sie mit der »Quelle allen Übels« zu impfen. Er schlug daher vor, eine Million Dollar unter ihnen zu verteilen und zuzusehen, wie sie schnell ins Verderben stürzten.

Aber er war ein Mann mit seltsamen Fantasien und Aberglauben, und es war eine unumstößliche Regel bei ihm, niemals ein Geschenk zu machen, das nicht aus einem Dollar oder einer Siebenerpotenz von Dollars bestand — wie z.B. 7, 49, 343, 2.401, welche Anzahlen von Dollars man einfach durch die Multiplikation von Siebenern zusammen erhält. Eine weitere Regel von ihm war, dass er nie mehr als sechs Personen genau dieselbe Summe schenken würde.

Wie sollte er nun die 1.000.000 Dollar verteilen? Sie können das Geld auf so viele Personen verteilen, wie Sie wollen, unter den gegebenen Bedingungen.

Anmerkung: Übersicht über die Englischen Währungen.

∨ Lösung

von Emma

Ich habe nur eine mögliche Verteilung gefunden:

1x823543 + 1x117649 + 3x16807 + 3x2401 + 3x343 + 3x49 + 1x7 + 1x1 = 1000000
823543 + 117649 + 50421 + 7203 + 1029 + 147 + 7 + 1 = 1000000

Damit beschenkt der Millionär 16 Personen.

Lösungsweg:

Ich habe mir eine Tabelle mit allen möglichen Werten erstellt, wobei aus jeder Spalte dann höchstens eine Zahl genommen werden darf.

        77      76       75      74     73    72   71   70    
1   823543  117649    16807    2401    343    49    7   1
2        -  235298    33614    4802    686    98   14   2    
3           352947    50421    7203   1029   147   21   3
4           470596    67228    9604   1372   196   28   4  
5           588245    84035   12005   1715   245   35   5
6           705894   100842   14406   2058   294   42   6

77 muss und darf höchstens einmal vorkommen. (ohne schafft man keine Million)
76 muss einmal vorkommen. Ohne schafft man keine Million, mit zweimal oder mehr geht es über die Million.

75 muss dreimal vorkommen, mit weniger schafft man die Million nicht, mit mehr geht es über die Million.

usw.

Wenn man die jeweils gefundenen Zahlen von der Million abzieht, sieht man, was dann noch aus den restlichen Spalten genommen werden kann.

Sollten Sie eine weitere Lösung, einen Fehler in der vorhandenen Lösung oder einen (besseren) Lösungsweg gefunden haben, ersuchen wir Sie, diese per

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∨ Lösung von Dudeney

Die Antwort auf dieses recht einfache Rätsel kann man natürlich leicht durch Ausprobieren erhalten, indem man die größte Potenz von 7 abzieht, die in einer Million Dollar enthalten ist, dann die nächstgrößere Potenz vom Rest, und so weiter. Aber das kleine Problem soll eine einfache direkte Methode veranschaulichen.

Die Antwort ist sofort gegeben, wenn man 1.000.000 in das 7er-Zahlensystem umwandelt, und zu diesem Thema der Notationsskalen möchte ich ein paar Worte schreiben, zum Nutzen derjenigen, die sich noch nie ausreichend mit der Materie beschäftigt haben.

Unsere Art des Rechnens ist eine Art perfektionierte arithmetische Kurzschrift, ein System, das es uns ermöglichen soll, mit Hilfe von Symbolen Zahlen so schnell und korrekt wie möglich zu manipulieren. Wenn wir die Zahl 2.341 schreiben, um zweitausenddreihunderteinundvierzig Dollar darzustellen, wollen wir 1 Dollar, viermal 10 Dollar, dreimal 100 Dollar und zweimal 1.000 Dollar dazuzählen. Ausgehend von der Zahl in der rechten Einheitsstelle ist jede Zahl links als ein Vielfaches der jeweiligen Potenz von 10 zu verstehen, die ihre Position angibt, während eine Chiffre (0) dort eingefügt werden muss, wo es notwendig ist, um Verwechslungen zu vermeiden, denn wenn wir statt 207 27 schreiben würden, wäre das offensichtlich irreführend. Wir brauchen also nur zehn Ziffern, denn wenn eine Zahl 9 übersteigt, setzen wir eine zweite Ziffer links daneben, wenn sie 99 übersteigt, setzen wir eine dritte Ziffer links daneben, und so weiter. Es wird sich zeigen, dass dies eine rein willkürliche Methode ist. Es handelt sich um das Dezimalsystem, ein System, das zweifellos darauf zurückzuführen ist, dass unsere Vorfahren, die es entwickelt haben, zehn Finger hatten, mit denen sie zu zählen gewohnt waren, wie unsere heutigen Kinder. Es ist unnötig, darauf hinzuweisen, dass wir die Zehnerskala verwenden, da dies im täglichen Leben immer verstanden wird.

Wenn aber ein Mann sagt, dass er 6.553 Dollar im 7er-System der Notation hat, werden Sie feststellen, dass dies genau der gleiche Betrag wie 2.341 in unserem gewöhnlichen Zehnersystem ist. Statt Zehnerpotenzen verwendet er 7er-Potenzen, so dass er nie eine höhere Zahl als 6 benötigt, und 6.553 steht in Wirklichkeit für 3, addiert zu fünf mal 7, addiert zu fünf mal 49, addiert zu sechs mal 343 (in der gewöhnlichen Notation), oder 2.341. Um die Operation umzukehren und 2.341 vom Zehnersystem in das 7er-System umzuwandeln, teilen wir es durch 7 und erhalten 334 und den Rest 3; teilen wir 334 durch 7 und erhalten 47 und den Rest 5; und so fahren wir fort, durch 7 zu dividieren, solange es etwas zu dividieren gibt. Die Reste, rückwärts gelesen, 6, 5, 5, 3, ergeben die Antwort, 6.553.

Nun, wie ich schon sagte, kann unser Rätsel sofort gelöst werden, indem wir einfach 1.000.000 Dollar im 7er-System umrechnen. Teilen Sie diese Zahl so lange durch 7, bis nichts mehr zum Teilen übrig ist, und Sie werden feststellen, dass der Rest 11333311 ist, was 1.000.000 im 7er-System ist. Daher löst 1 Geschenk von 1 Dollar, 1 Geschenk von 7 Dollar, 3 Geschenke von 49 Dollar, 3 Geschenke von 343 Dollar, 3 Geschenke von 2.401 Dollar, 3 Geschenke von 16.807 Dollar, 1 Geschenk von 117.649 Dollar und ein substantielles Geschenk von 823.543 Dollar unser Problem zufriedenstellend. Und es ist die einzig mögliche Lösung. Es zeigt sich also, dass keine »Versuche« notwendig sind; durch die Umstellung auf die 7er Notation gelangen wir direkt zur Antwort.

Autor:	Henry Ernest Dudeney
Quelle:	Amusements in Mathematics
Titel:	The Millionaire's Perplexity
Lizenz:	Gemeinfrei (Public Domain)