Sphinx, Nr. 19

ROSE-INNES = 9216-53361
OR = 29

ROSE und INNES sind Quadratzahlen, OR ist eine Primzahl

Betrachte alle zweistelligen Primzahlen, beginnend mit 13 und suche die "dazugehörige" Quadratzahl, hier beginnend mit 31xy und prüfe dann auch gleich ob x (=S) das Ende einer Quadratzahl sein kann.

Die Einerstelle einer Quadratzahl kann nur 0, 1, 4, 5, 6, 9 sein.

13: 3136 = 56² S = 3 geht nicht

17: 71xy es existiert keine Qudratzahl

19: 91xy gibt keine Qudratzahl

23: 3249 = 57² S = 4 geht -> merken für weitere Untersuchung

29: 9216 = 96² S = 1 geht -> merken

31: 1369 = 37² S = 6 geht -> merken

37: 7396 = 86² S = 9 geht -> merken

41: 1444 zwar Qudratzahl, aber Widerspruch zur Aufgabenstellung

43: 3481 = 59² S = 8 geht nicht

47: 74xy gibt keine Quadratzahl

53: 35xy gibt keine Quadratzahl

59: 95xy gibt keine Quadratzahl

61: 1600 zwar Quadratzahl, aber Widerspruch zur Aufgabenstellung

1681 = 41² S = 8 geht nicht und auch so Widerspruch

67: 76xy gibt keine Quadratzahl

71: 1764 = 42² S = 6 geht -> merken

73: 3721 = 61² S = 2 geht nicht

79: 97xy gibt keine Quadratzahl

83: 3844 zwar Quadratzahl, aber Widerspruch zur Aufgabenstellung

89: 9801 = 99² S = 0 geht -> merken

97: 7921 = 89² S = 2 geht nicht

Folgende 6 Zahlen für ROSE fließen in die weiteren Betrachtungen ein: 1369, 1764, 3249, 7396, 9216, 9801

1369: INNES = INN96 mit I, N = (0, 2, 4, 5, 7, 8) I ≠ 0

1764: INN46 mit I, N = (0, 2, 3, 5, 8, 9) I ≠ 0

3249: INN94 mit I, N = (0, 1, 5, 6, 7, 8) I ≠ 0

7396: INN69 mit I, N = (0, 1, 2, 4, 5, 8) I ≠ 0

9216: INN61 mit I, N = (0, 3, 4, 5, 7, 8) I ≠ 0

9801: entfällt -> Eine Quadratzahl kann nicht auf 10 enden.

Jedes INNES müsste jetzt für 5 verschiedene I mit 5 verschiedenen N überprüft werden, ob es eine Quadratzahl ist. Um mir ein paar dieser 5*5*5 = 125 Überprüfungen zu ersparen, untersuche ich, ob alle "Endungen" (96, 46, 94, 69, 61) Endungen einer Quadratzahl sein können.

Wegen (100x + 10y + z)² = 10000x² + 2000xy + 100 (y² + 2xz) + 20yz + z² muss ich nur 20yz + z² für die Endung berücksichtigen.

z² kann sein: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 00

Hinzu käme ein ganzzahliges Vielfaches von 20, d. h. eine gerade (0 eingeschlossen) Zehnerstelle bleibt gerade, eine ungerade Zehnerstelle bleibt ungerade. Daraus folgt, wegen 16 und 36 ungerade Zehner, kann es 46 nicht geben. Wegen 04 und 64 gerade Zehner, kann es 94 nicht geben.

Mit dem Taschenrechner wurden von mir also nur noch

INN96, INN69, INN61 untersucht.

INN96 lieferte keine Lösung.

INN69 lieferte keine Lösung.

INN61 lieferte eine Lösung: 53361 = 231²

Lösung insgesamt: OR = 29, ROSE = 9216, INNES = 53361