Schafherden-Erbschaft

Wenn es n Schafe gibt und jedes Schaf n Taler kostet, ist der Gesamtbetrag n² Taler.

Jede Zahl n kann man in der Form a*10+b schreiben; beispielsweise die Zahl 4356 als 435*10+6.

n² ist also (a*10+b)*(a*10+b) = 100*a²+20*ab+b².

Die ersten beiden Terme (100*a²+20*ab) ergeben immer eine Zahl mit einer geraden Zehnerstelle. Dieser Anteil lässt sich immer zwischen den beiden Erben glatt aufteilen. Nur der Anteil der Einerstelle b*b kann also dazu führen, dass die beiden Brüder nicht gleich viele 10-Taler-Scheine erhalten.

b² sind die ersten 10 Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, und 81. Davon haben nur 16 und 36 eine ungerade Zehnerstelle; bei allen anderen Zahlen hätte beide Brüder gleich viele 10-Taler-Scheine bekommen.

Egal, ob nun 16 oder 36 - die Einerstelle ist immer 6; der jüngere Erbe hat also 6 Taler in Münzen erhalten; der ältere muss dem jüngeren daher noch 2 Taler »zurückzahlen«.

Auf dem Scheck steht also die Zahl 2.