Mit Korrektur aufgrund der
Diskussion im Forum!
—————
Das Pferd wird von hinten aufgezäumt:
Die Zahl der Erbsen wurde außerdem mehrfach überschätzt.
Mehrfach ist mindestens zweimal, also fallen 58.620 und 53.235 raus, es müssen
also weniger als 53.235 Erbsen sein.
Und welcher Teilnehmer lag am dichtesten dran?
Kein Teilnehmer hatte also die richtige Zahl genannt.
Niemand der 12 Teilnehmer hatte mit beiden Behauptungen Recht
Wenn keiner die richtige Zahl genannt hat (1. Behauptung ist falsch), muss also
jeweils die 2. Behauptung (Divisor) richtig gewesen sein.
Zwei von Ihnen lagen sogar mit beiden Aussagen falsch. Diese hatten ihre
Aussage übrigens unmittelbar hintereinander getroffen
Es sind also alle Divisoren (Zweitbehauptung) richtig, bis auf 2 aufeinander
folgende.
—————
Wir suchen also eine Zahl zwischen 1 und 53.234, die teilbar durch 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 und 13 ist, wobei aber zwei aufeinander folgende Zahlen
nicht berücksichtigt werden. Anders gesagt: Wir suchen das kleinste gemeinsame
Vielfache aus 2 bis 13, wobei aber zwei aufeinander folgende Zahlen nicht berücksichtigt
werden.
Zerlegen wir die Divisoren erst einmal in Primzahlfaktoren:
2 = 21, 3 = 31, 4 = 22,
5 = 51, 6 = 21×31, 7 = 71,
8 = 23, 9 = 32, 10 = 21×51,
11 = 111, 12 = 22×31, 13 = 131
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist das Produkt der Primfaktoren
mit der höchsten Potenz.
- 2 und 3 können nicht die falschen Aussagen sein, da dann 4 und 6 drin bleiben
würden, was impliziert, dass die Zahl auch durch 2 und 3 teilbar sein muss.
- Gleichermaßen
argumentiert man mit 3 und 4, 4 und 5 sowie 5 und 6.
- Ohne 10 geht es nicht,
da dann auch 2 und 5 falsch sein müssten.
- Ohne 12 geht es nicht, da dann auch 2 und
3 und 4 falsch sein müssten.
Bleibt:
- Ohne 7 und 8: 2² × 3² × 5 × 11 × 13 = 25.740
Fazit:
Es sind 25.740 Erbsen im Glas. Zwei mal daneben lagen Teilnehmer 6 und 7. Am
dichtesten dran war Teilnehmer 12 (um eine Erbse besser als Teilnehmer 2).