Die unendliche Geschichte vom Weihnachtsmann

[Dustin]

Es ist wieder Weihnachten (ok nicht ganz realistisch, aber die Geschichte wird sowieso noch viel verrückter, insofern ist das auch wurscht ) und der Weihnachtsmann verteilt seine Geschenke an die Kinder. Wir schreiben das Jahr 4596, und die Weltbevölkerung hat sich inzwischen so sehr vermehrt, dass es unendlich viele Kinder zu beschenken gibt. Um den Überblick zu behalten, gibt der Weihnachtsmann jedem Kind eine natürliche Zahl als Nummer (es sind also, wie der Mathematiker sagt, abzählbar unendlich viele Kinder). Auch die Geschenke werden entsprechend nummeriert; der Weihnachtsmann muss natürlich auch abzählbar unenedlich viele Geschenke parat haben. Nachdem 4596 alles reibunglos läuft, hat der Weihnachtsmann in den nävchsten Jahren einige knifflige Probleme zu lösen:

1. 4597 stellt der Weihnachtsmann fest, dass 2500 Kinder nicht brav waren und daher kein Geschenk bekommen. Muss er nun weniger Geschenke kaufen als im Vorjahr?

2. Die Kleinen werden immer frecher. 4598 soll nur noch die Hälfte der Kinder ein Geschenk bekommen. Muss der Weihnachtsmann nun weniger kaufen?

3. Im Jahr 4599 denkt sich der Weihnachtsmann ein neues System aus, um die braven Kinder zu belohnen. Das am wenigestn brave Kind bekommt "nur " ein Geschenk, das zweitfrechste zwei, das nächste drei usw. Muss er nun mehr Geschenke kaufen als 4596 ( wo jedes Kind genau ein Geschenk bekam)?

4. Zur Jahrhundertwende soll im Jahr 4600 jedes Kind (abzählbar) unendlich viele Geschenke bekommen! Muss der Weihnachtsmann diesmal mehr kaufen als üblich?

5. Der Weihnachtsmann wird langsam immer experimentierfreudiger. Für das Jahr 4601 bereitet er einen speziellen Würfel vor, der nur die Werte 0 und 1 anzeigen kann (jeweils 50%). Die Geschenke sollen diesmal nämlich an die Kinder verlost werden: Jedes Kind würfelt abzählbar unendlich oft, sodass eine unendliche Folge aus Nullen und Einsern entsteht. Für jede mögliche Zahlenfolge bekommt das Kind ein anderes Geschenk. Natürlich muss der Weihnachtsmann alle in Frage kommenden Geschenke vorher schon einkaufen, also ein Geschenk für jede denkbare unendliche Zahlenfolge aus Nullen und Einsen. Muss er diesmal mehr einkaufen als üblich?

[Modesty]

Das Problem mit der Unendlichkeit


Ich halte mich hier zurück, da ich kürzlich gelesen habe, daß die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß ist wie die der Quadratzahlen.
(Obwohl man aus dem Bauch heraus denkt, daß es weniger Quadratzahlen als natürliche Zahlen gibt)

Die einleuchtende Begründung war, daß schließlich jeder natürlichen Zahl ihre Quadratzahl zugeordnet werden kann, also müssen beide Mengen gleich groß sein.

Das stand in einem Buch, in dem es um den Erfinder der Mengenlehre geht, Titel ist mir gerade nicht im Gedächtnis.

Grüßle

Modesty

[Dustin]

Hi Modesty!
Und damit bist Du genau auf dem richtigen Weg! Es geht darum, die fünf dargestellten Mengen mit der Menge der natürlichen Zahlen zu vergleichen, genau wie bei den Quadratzahlen.
Grundsätzlich gibt es zwei Arten von unendlich:
1.abzählbar unendlich, dies bezeichnet eben die Mächtigkeit der nat. Zahlen. Jede Menge, die "durchnummeriert" werden kann (wie ZB die der Quadratzahlen:1.1, 2.4, 3.9 usw.) ist abzählbar und damit so groß wie die Menge N der nat. Zahlen
2. überabzählbar, so nennt man die Mengen, die eben nicht mehr durchnummeriert werden können. (Ich würde jetzt gerne ein Beispiel geben, befürchte aber, dass dies zuviel über die Lösung verraten würde...)

Also versuchs mal, dazu braucht men keine dicken Wälzer gelesen zu haben, einfach "Wage zu denken"!

Gruß und viel Spaß beim Knobeln (natürlich auch allen anderen)

Dustin

[mri]

Hi Dustin,

2. Die Kleinen werden immer frecher. 4598 soll nur noch die Hälfte der Kinder ein Geschenk bekommen. Muss der Weihnachtsmann nun weniger kaufen?

definiere doch bitte mal den Begriff "weniger" (und falls Du bei der Definition den Begriff "Anzahl" verwendest, dann auch diesen)!

gruss

mario

[Dustin]

Erstmal Definition von gleichgroß:
Zwei Mengen (A und B) sind gleichgroß, wenn es eine Abbildung von A nach B gibt, bei der 1. jedem Element aus A ein anderes Element aus B zugeordent wird, also kein Element aus B doppelt verwendet wird (=injektiv) und 2. keine Elemente aus B "übrigbleiben", denen kein Element aus A zugeordnet ist (surjektiv).

Wenn es keine surjektive Abbildung von A nach B gibt, so hat A weniger Elemente als B.

Wenn es keine injektive, aber eine surjektive Abbildung von A nach B gibt, so hat A mehr Elemente als B.

Ich weiß, das klingt kompliziert, deshalb hier mal einige Beispiele mit endlichen Mengen.

1.Beispiel: A= (1;2;3;4;5); B=(6;7;8;9;10)
Die Abbildung mit der Vorschrift
1->6; 2->7; 3->8; 4->9; 5->10
ist injektiv (d.h. kein Element wird doppelt verwendet) und surjektiv (d.h. alle Elemente tauchen auf). Also sind A und B gleichgroß.

2. Beispiel: Wir nehmen die 10 aus B raus.
Eine mögliche Abbildung wäre nun:
1->6; 2->7; 3->8; 4->9; 5->?
Nun muss ein Element aus B doppelt verwendet werden, womit die Injektivität verletzt ist. A hat also mehr Elemente als B.

3. Beispiel: Die 10 kommt zu B wieder dazu, dafür die 1 aus A raus.
Mögliche Abb.von A nach B:
2->7; 3->8; 4->9; 5->10
Hier bleibt die 6 aus B "solo", womit die Surjektivität verletzt ist, d.h. A hat weniger Elemente als B.

Für endliche Mengen ist diese Definition von mehr, gleich und weniger natürlich umständlich, aber um unendliche Menge zu vergleichen, braucht man sie eben.

Alles logo? Dann viel Spaß beim Knobeln!

Gruß Dustin

[Dustin]

Für alle Fälle noch die Lösung der ersten frage in Minischrift, um die Beweistechnik verständlich zu machen:
Nehmen wir an, die nicht zu beschenkenden Kinder haben die Nummern 1 bis 2500, dann geht es also um einen Vergleich der Mengen N=(1;2;3;4;...) und N'=(2501;2502;2503;...) Obwohl N alle Elemente aus N' und noch 2500 zusätzliche enthält, sind N und N' genau gleichgroß! Eine mögliche Abbildung von N auf N' wäre ZB:
1->2501; 2->2502; 3->2503; allgemein: n->2500+n. Diese Abbildung ist sowohl in-als auch surjektiv (das heißt dann auch bijektiv), also sind N und N' gleich groß. Der Weihnachtsmann muss also genauso viele Geschenke kaufen wie im Vorjahr, als jedes Kind ein Geschenk bekam!

[Dustin]

Also, ich poste mal die Lösung in Minischrift, um die Aufgabe nicht ohne Lösung dastehen zu lassen:
Nummer 1 habe ich ja schon gepostet.
2. Sagen wir, die geradzahligen Kinder bekommen Geschenke und die ungeradzahligen nicht. Die Abbildung n--> 2n bildet die nat. Zahlen eineindeutig (=bijektiv) auf die Mange der geraden Zahlen ab. Es gibt also genauso viele gerade wie natürliche Zahlen! Der W.mann muss nicht weniger kaufen.
3. Auch hier ist eine bijektive Abbildung möglich. Das Geschenk des unbravsten Kindes bekommt die Nummer 1, die beiden Geschenke des 2. Kindes die 2 und die 3, die des dritten die 4, 5 und 6 usw. In dieser Weise werden alle Geschenke mit einer Nummer erfasst, der W.mann kauft also wieder genauso viele Geschenk wie immer (nämlich abzählbar unendlich viele.)
4. Hier wird es komplizierter, aber es gibt immer noch eine bijektive Abbildung!
Stellt Euch ein Koordinatengitter vor, das bei 0 0 beginnt und sowohl in x-als auch in y-Richtung ins positive Unendliche geht. Die Abszisse steht für die Nummer des Kindes, die Ordinate für die Nummer des Geschenks, bezogen auf das jeweilige Kind. Es geht also um die Frage, ob sich das Gitter mit einer Zahlenfolge komplett durchnummerieren lässt. Das geht zB folgendermaßen:
Die 0 0 bekommt die Nummer 1. Dann feritgt man die Gitterpunkte diagonal ab: Nummern 2 und 3 gehen an die Gitterpunkte 0 1 und 1 0, dann kommen die 0 2, 1 1 und 2 0 (nr. 4-6) usw. Auf diese Art erfasst man das ganze Gitter. Also gibt es genauso viele Gitterpunkte (und damit Geschenke insgesamt) wie natürliche Zahlen! Der W.mann muss wieder "nur" abzählbar unendlich viele Geschenke kaufen, wie immer.

HINWEIS: Eine zB reihenweise Abzählung des Gitters ist NICHT möglich. Fängt man zB mit dem 1. Kind an und zählt alle seine Geschenke durch, so gelangt man nie zum 2. Kind! Deswegen ist diese Abzähling nicht möglich.

5. Jetzt wird es richtig kompliziert. Interpretiert man die Zahlenfolge aus Nullen und Einsen als Nachkommafolge einer Binärzahl nach 0,..., so bilden alle möglichen Kombinationen das geschlossene Intervall (0;1). Man kann beweisen, dass alle Intervalle überabzählbar sind, also mehr Zahlen enthalten als es natürliche Zahlen gibt. Man kann also die Zahlen eines Intervalles NICHT so durchnummerieren, dass jede zahl erfasst wird! Hier muss der Weihnachtsmann also mehr Geschenke kaufen als üblich.

Bezeichnet man den Wert "abzählbar unendlich" mit a (gängig ist der hebr. Bst. Aleph), so kann man die einzelnen Aufgaben auch als Gleichungen formulieren:

1. a-2500=a
2. a/2=a
3. 1+2+3+4+5+6+7+8+... (bis ins Unendliche ) =a
4. a²=a, aber
5. 2^a > a (2^a deswegen, weil jeder Würfelwurf zwei mögliche Ausgänge hat, insgesamt gibt es a Würfelwürfe.)

[Braveheart]

Mein Bruder und ich lieben solche Rätsel. Er löchert mich immer damit und lässt nicht locker ehe ich es nicht gelöst habe. Toll, dass ich diese Kniffelei mit dem Weihnachtsmann inkl. Lösung hier finden konnte

Mein Bruder wird "begeistert" sein, wenn er versucht es zu lösen

[Quadwo]

also

Lösung oder Tipp: Anzeigen

x/2 = x

aber

Lösung oder Tipp: Anzeigen

2^x > x

???

Unendlichkeit scheint nichts für mich^^