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[Engelchen]

Nur keine Bange, das ist fast eine Kopfrechenaufgabe.

Welche der beiden Zahlen ist größer: 31⁸⁰ oder 17¹⁰⁰

Edit: in Kopfzeile - mit Lösung

[Otto]

Wieso nur fast?

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31 ist fast das Doppelte von 17 und beide Zahlen sind nahe bei einer Zweierpotenz

[Lupiro]

Man kann die Aufgabe auch vereinfachen, wenn man bedenkt, dass 100 = 5*20 und 80 = 4*20 ist.

[Engelchen]

@ Lupiro

Ich habe momentan keinen Taschenrechner und auch Bleistift und Papier sind nicht zur Hand und nun?

[Engelchen]

Ob mit den Exponenten 100 und 80 oder mit 5 und 4 (nach Lupiros Vereinfachung), die folgende Abschätzung funktioniert mit beiden Varianten und wirklich ausgerechnet werden muss hier nichts.

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17¹⁰⁰ > 16¹⁰⁰ = [ (2⁴)¹⁰⁰ = 2⁴⁰⁰ = (2⁵)⁸⁰ ] = 32⁸⁰ > 31⁸⁰

[Otto]

Welche der beiden Zahlen ist größer: 31⁸⁰ oder 17¹⁰⁰?

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31⁸⁰≈(2⁵)⁸⁰=2⁴⁰⁰
17¹⁰⁰≈(2⁴)¹⁰⁰=2⁴⁰⁰
Ergibt die gleiche Abschätzung, aber der erste Ausdruck wurde überschätzt, da mit 32 statt 31 gerechnet wurde, der zweite Ausdruck wurde unterschätzt, da mit 16 statt 17 gerechnet wurde.

Engelchens Beweis ist zwar ok, aber irgendwie Magie: Wie kommt man auf die Idee, dass man mit 17¹⁰⁰ eine passende Ungleichung findet? Es hätte sich ja genausogut nicht ausgehen können.

[Helmuth]

Irgendwie ist es schon naheliegend: 31 = 2⁵ - 1 und 17 = 2⁴ + 1
Ich denke, darauf wollte Lupiro mit seiner Vereinfachung hinweisen. Zumindest habe ich sie so verstanden - der Faktor 20 bei Engelchen diente nur der Verschleierung.