Für Zahlenakrobaten ► mit Lösung ◄

[Engelchen]

Hallo!
Wünsche allen ein paar wetterfreundliche Ostertage.

Wer nicht mehr zur Fraktion der 'Ostereiersucher' gehört, könnte mir ja bei der Suche nach der kleinsten positiven ganzen Zahl (größer als 1), die der folgender Bedingung genügt, behilflich sein.
Die gesuchte Zahl soll bei der Division durch jede beliebige ganze Zahl n den Rest 1 lassen, wobei für n gelte: 2 ≤ n ≤ 99.

LG Engelchen

Edit: Ergänzung in Kopfzeile - mit Lösung

[Otto]

Schon Eulikd hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Es lohnt, sich mit diesem Beweis zu beschäftigen!

Ach ja: Sauwetter heute in Wien.

[Engelchen]

Hallo zusammen!

Na gut, habe schon fast geahnt, dass ich die Zahl ganz alleine suchen muss.
Warum? Das zeigen Lösung und Lösungsweg.

Lösung oder Tipp: Anzeigen

Um die Zahl zu nennen, die die geforderte Bedingung erfüllt, muss man zunächst die kleinste Zahl (X) finden, die ohne Rest durch alle n teilbar ist und dazu dann 1 addieren.
Eine solche Zahl(X) wäre ganz sicher X = (2*3*4* .... *97*98*99)
Diese Zahl ist aber bei weitem nicht die kleinste, denn wie man ganz leicht erkennen kann, einige Faktoren bräuchte man gar nicht. So sind z.B. 2, 4, 8, 16, 32 alle in 64 enthalten, d.h. eine Zahl, die durch 64 teilbar ist, ist auch durch 2, 4, 8, 16, 32 teilbar.
Fazit dieser Überlegung:
Man braucht für das Produkt sämtliche Primzahlen bis 99 und von einigen ihre höchste vorkommende Potenz. Damit reduziert sich die Anzahl der Faktoren wie folgt:

2⁶ (=64), 3⁴ (=81), 5² (=25), 7² (=49), 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Das Produkt wird wegen 98 = 2*7*7 und 99 = 3*3*11 auch durch diese beiden Zahlen teilbar sein.

Die Multiplikation der genannten Faktoren ergibt eine 41stellige Zahl. Und diese Zahl +1 ist dann die laut Aufgabenstellung kleinste Zahl, die bei der Division immer den Rest 1 lässt.
Und hier ist sie:

069 Sextilliarden
720 Sextillionen
375 Quintilliarden
229 Quintillionen
712 Quadrilliarden
477 Quadrillionen
164 Trilliarden
533 Trillionen
808 Billiarden
935 Billionen
312 Milliarden
303 Millionen
556 Tausend
801

Ohne Gewähr, da mit Papier und Bleistift errechnet, weil mein Taschenrechner schnell an seine Grenzen gestoßen ist.

[Helmuth]

Warum sagst Du nicht einfach 1 + kgV{2; 3; ... ; 98; 99} ?
Aber Hochachtung vor Deiner Multiplikation mit Papier und Bleistift! Andere hätten das Programm Mathematica verwendet (steht auch online zur Verfügung - und es kommt auf das gleiche Ergebnis!)

[Engelchen]

Hallo Helmuth!

Warum sagst Du nicht einfach 1 + kgV{2; 3; ... ; 98; 99} ?

Vielleicht, weil ich das so nicht kenne (oder längst vergessen habe?). Weil ich kg mit Kilogramm und V mit Volt übersetzt hätte? - bevor mir dazu das kleinste gemeinsame Vielfache eingefallen wäre? Nichts für ungut, ich schreibe gern ein bisschen ausführlicher, damit ein nicht so kundiger Leser den Lösungsweg verstehen kann.

Aber Hochachtung vor Deiner Multiplikation mit Papier und Bleistift!

Danke, Deine Bewunderung wird gleich noch steigen, wenn ich Dir sage, dass ich insgesamt 4 mal gerechnet habe. Einmal, klar, das musste sein. Ein zweites Mal zur Probe - die Faktoren ein bisschen anders zusammengestellt - und leider, ein neues Ergebnis. Also ein drittes mal, das dann das Resultat der zweiten Rechnung bestätigte. Danach hatte ich den Ehrgeiz, den Fehler in der ersten Multiplikation zu finden. Gefunden, berichtigt und neu gerechnet. Nach nunmehr drei gleichen Produktergebnissen habe ich es gewagt, die Lösung ins Netz zu stellen.

Andere hätten das Programm Mathematica verwendet (steht auch online zur Verfügung - und es kommt auf das gleiche Ergebnis!)

Was ich alleine hinkriegen kann, probiere ich auch aus. Mir fehlt noch ein bisschen Interneterfahrung und Mathematica kannte ich bis jetzt noch nicht.

Gruß Engelchen