2 Leitern

[mitchsa]

Zwei Elektriker wollen in einer Gasse Glühbirnen der Strassenbeleuchtung austauschen.
Eine Leiter ist 7 m Lang und wird von rechts unten nach links oben aufgestellt.
Die andere ist 11 m lang und wird von links unten nach rechts oben aufgestellt.
Die beiden Leitern kreuzen sich 3 m über dem Boden.

Wie breit ist die Gasse?
Bitte mit Lösungsweg!

Michael

[Georges]

Hallo Michael

Ist deine Angabe richtig?
Mit den Maßen finde ich keine Lösung.

Georges

[mitchsa]

Versuche mal ein Bild einzufügen

[img]http://www.directupload.net/show_image.php?d=205&n=YK2L4J9k.jpg
[/img]

Hoffe das klappt????

Michael

P.S. wenn es nicht klappt kann mir jemand sagen, wie man Bilder uploaded. Danke

[Georges]

Es klappte mit dem Bild!

So hatte ich mir die Aufgabe auch vorgestellt, ich wollte eigentlich nur Bescheid wissen ob du die Lösung hast.

Georges

[mitchsa]

Ja, aber nur meine eigene.

Möchte nur wissen, ob es noch andere Wege gibt.

Michael

[Georges]

Man nimmt an:
BF Die Leiter geht von links oben nach rechts unten (B ist links oben)
EA Die Leiter geht von links unten nach rechts oben (E ist links unten)
I ist der Schnittpunkt der beiden Leitern.
H ist das Lot von I aus auf den Boden.

Dann:
AF = x, EF = y, BE = z;
AE = a; BF = b; IH =c;

AF^2 + EF^2 = AE^2 oder x^2 + y^2 = a^2
EF^2 + BE^2 = BF^2 oder y^2 + z^2 = b^2

Es wird

c/x + c/z = EH/EF + HF/EF = (EH + HF)/EF = 1

und

c/z = (x-c)/x

und dann

x^2 – z^2 = a^2 – b^2

das führt zu

z = c * x/(x-c)

einer Gleichung viertem Grades

x^2 – [c * x/(x-c)]^2 = a^2 – b^2

dann hat man

x^4 – 2cx^3 – (a^2 – b^2)x^2 + 2c(a^2 – b^2)x – c^2(a^2 – b^2) = 0

y ist die Quadratwurzel aus (a^2 – x^2)



Lösung der Aufgabe:

a=11; b=7; c=3;

x^4 – 6x^3 – 72x^2 +432x – 648 = 0

eine brauchbare Wurzel ist: x = 9,5466

die Breite der Gasse ist y = 5,4647

Georges

[mitchsa]

Stimmt natürlich.

Aber wie kommst du auf c/x + c/z = EH/EF + HF/EF = (EH + HF)/EF = 1
?
Kannst du das mal erklären?

Michael

[Georges]

Über die Ähnlichkeit von Dreiecken.

c/x verhält sich wie EH/EF
c/z verhält sich wie HF/EF

und

EH + HF = EF
EF/EF = 1

In der Zwischenzeit habe ich die Aufgabe wieder gefunden in
Mathematik aus dem Hinterhalt von L.A.Graham (1981)

Die Lösung wird dort mit einem trigonometrischen Verfahren gelöst.

Man kommt zu der Gleichung

cos(alpha) + cot(alpha) = m (m ist ein bekannter Wert den man bis zu dieser Stelle gerechnet hat)

Er schreibt:

Nun brauchen wir nur noch in der trigonometrischen Tafel einen Winkel herauszusuchen, dessen Kosinus und Kotangens sich zu (m) addiert.

Georges

[mitchsa]

Danke für deine Lösung.

Also ich habe es mit Strahlensatz (1/c =1/x+1/y), dann mit Pythagoras
und zu guter letzt bin ich auch auf die Gleichung 4. Grades gekommen.
Allerdings habe ich auf die andere Seite aufgelöst und dadurch 4,37475 heraus bekommen.
Was zur gleichen Breite führt.

Nach deinen Postings zu urteilen, scheinst du ein Sammler von mathematischen Rätselbüchern zu sein.
Kannst du mir eine Liste von Büchern mailen? Würd mich sehr interessieren.
Danke.

Gruß

Michael

[Georges]

>Also ich habe es mit Strahlensatz (1/c =1/x+1/y), dann mit Pythagoras
Ja, wenn du den Strahlensatz mit c multiplizierst, dann kommt auch 1 = c/x + c/y heraus.

>Allerdings habe ich auf die andere Seite aufgelöst und dadurch 4,37475 heraus bekommen.
a = 7, b = 11, c = 3,
x^4 – 6x^3 + 72x^2 - 432x + 648 = 0
x = 4,3746

>Kannst du mir eine Liste von Büchern mailen? Würd mich sehr interessieren.
Für was interessierst du dich besonders?
Wie „Zwei Leitern“ oder „Kreis rundes Feld“ ( mit viel Mathematik)
„13 Münzen“ sehr schwer aber mit wenig Mathematik,
oder für Aufgaben ohne Mathematik. (Seminarraum, 10 Stühle, 4 Wände)


Die meisten Aufgaben aus den Bücher stehen Heute im Internet, schau dir mal die Spalte „Mathematik“ von Otto an.

Gruß
Georges