Eine siebenstellige Zahl.

[Georges]

Eine siebenstellige Zahl.
Es gibt zwei Lösungen auf die Frage, eine siebenstellige Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit einer gewissen Ganzen Zahl (natürlich nicht Eins) die umgestellte Zahl ergibt.
Eine Lösung lautet: 1099989 * 9 = 9899901.
Welches ist die andre mögliche Lösung?

Georges

[mri]

Hallo,

abcdefg * x = gfedcba

es gilt: x#1, g#1, a<5, a*x<=g, g*x (mod 10) = a

Mit diesen Randbedingungen gibt es nur 2 Kombinationen für (a,x,g):

a=1, x=9, g=9 (führt zur angegebenen Lösung) und

a=2, x=4, g=8


2bcdef8 * 4 = 8fedcb2

b= 0,1,2 (da kein Übertrag bei Multiplikation mit 4)


20cdef8 * 4 = 8fedc02 => 3+4*f = 0(mod 10) geht nicht
21cdef8 * 4 = 8fedc12 => 3+4*f = 1(mod 10)
22cdef8 * 4 = 8fedc22 => 3+4*f = 2(mod 10) geht nicht

=> b=1

21cdef8 * 4 = 8fedc12

=> f= 2,7

Annahme f=2:
21cde28 * 4 = 82edc12 => geht nicht (21*4>82)

=> f= 7

21cde78 * 4 = 87edc12

=> c=7,8,9

217de78 * 4 = 87ed712 => 3+4*e = 7(mod 10)
218de78 * 4 = 87ed812 => 3+4*e = 8(mod 10) geht nicht
219de78 * 4 = 87ed912 => 3+4*e = 9(mod 10)


Fall 3+4*e = 7(mod 10)
---------------------------
e=1, 6

217d178 * 4 = 871d712 => d*4 = d (mod 10) geht nicht

217d678 * 4 = 876d712 => (d*4)+2 = d (mod 10)

=> d=6, aber das erfüllt die Gleichung nicht


Fall 3+4*e = 7(mod 10)
---------------------------
e=4, 9

219d478 * 4 = 874d912 => geht nicht (219*4>874)

219d978 * 4 = 879d912 => (d*4)+3 = d (mod 10)

=> d=9

2199978 * 4 = 8799912

Das ist also die gesuchte zweite Lösung.

gruss
mario

[mitchsa]

@Georges mit ganzer Zahl meinst du doch von 2-9, oder?

@mri, wow wenn das stimmt, Hut ab vor dem Lösungsweg!!!
Bei mir läuft seit ca. 11 Uhr ein kleines VBA, werde dann mein Ergebnis
vergleichen.

Gruß

Michael

[mitchsa]

Kann Mario bestätigen. Nochmals GW zu dieser Lösung.

@Georges mit 10 als Faktor oder mehr kommen einige Lösungen raus, da führende Nullen nicht zählen.

Michael

[Georges]

@Mario, Deine Lösung ist etwas anders als die Buchlösung, aber gut nach zu vollziehen.
Bravo!!

@Michael
>Georges mit 10 als Faktor oder mehr kommen einige Lösungen raus, da führende Nullen nicht zählen.
Wie meinst Du das, vielleicht mit einem Beispiel.

Die Aufgabe stammt aus:
Hirnverzwirner mit und ohne Mathematik von Douglas St. Paul Bernard und Otto Botsch (1975)

Georges

[mitchsa]

Alle 7 stelligen Zahlen, die in sich zu spiegeln sind * 10 gehen.
Beispiel: 4195914 * 10 = 41959140 gespiegelt 04195914, führende 0 weg. Und schon passts.

Soll heißen, dass alles was mit 1 bis 9 geht auch mit 10, 40, 90, 100, 400, 900 usw. geht.

Michael

[Georges]

@Michael

>41959140

Die Zahl ist 8stellig

Georges

[mitchsa]

Ok, hab ich falsch verstanden.

>Es gibt zwei Lösungen auf die Frage, eine siebenstellige Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit einer gewissen Ganzen Zahl (natürlich nicht Eins) die umgestellte Zahl ergibt.

Hab zuerst multpliziert, dann umgestellt und dann verglichen.

Mein Fehler.

Michael